1. Determine a distância entre os planos:
[
& M: x+2 y+6 z=1 e & N: x+2 y+6 z=10

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos M: x + 2y + 6z = 1 e N: x + 2y + 6z = 10. Esse é um problema de distância entre planos paralelos e vamos usar a fórmula que relaciona as constantes dos planos e a norma do vetor normal.

Passo 2

Para ver que os planos são paralelos, note que o vetor normal de cada plano é n = (1, 2, 6). Como ambos têm o mesmo vetor normal, eles são planos paralelos.

Passo 3

Reescrevendo cada plano no formato Ax + By + Cz + D = 0, temos:
x + 2y + 6z - 1 = 0
x + 2y + 6z - 10 = 0

Passo 4

A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 5

Aqui A = 1, B = 2, C = 6, D1 = -1 (do primeiro) e D2 = -10 (do segundo). Vamos calcular: O valor |D2 − D1| é |(−10) − (−1)| = |−9| = 9, e a norma do vetor normal é raiz1^2 + 2^2 + 6^2 = raiz1 + 4 + 36 = raiz41.

Passo 6

Substituindo na fórmula obtemos a distância entre M e N.

Resposta

9raiz41

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