Toda matriz A de ordem m times n determina uma transformação linear TA: R^n R^m definida como TA(v)=A v. Para cada matriz abaixo, encontre sua respectiva transformação linear.
ll0 & 0 1 & 1 0 & 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, para cada matriz dada, a transformação linear TA: R^ntoR^m definida por TA(v)=Av. O conteúdo envolvido é multiplicação de matriz por vetor e o que precisamos é expressar o produto de cada matriz pelo vetor genérico de entrada.

Passo 2

Vamos começar pela matriz AinR^3times2. Seja v=(x,y)^topinR^2. Aplicando TA(v)=Av temos:
A,v=0&01&10&0xy= 0x+y0
Logo, TA(x,y)=(0,,x+y,,0)^top.

Passo 3

Para a matriz BinR^2times2, seja v=(x,y)^top. Então:
B,v=0&10&-1xy= y-y
Logo, TB(x,y)=(y,,-y)^top.

Passo 4

Para a matriz CinR^3times1, a entrada é um escalar t. Temos:
C,t=102t= t02t
Logo, TC(t)=(t,,0,,2t)^top.

Passo 5

Para a matriz DinR^5times3, seja v=(x,y,z)^top. Então:
D,v=0&1&20&0&-30&0&01&-1&00&1&1 xyz= y+2z-3z0x-yy+z
Logo, TD(x,y,z)=(y+2z,,-3z,,0,,x-y,,y+z)^top.

Passo 6

Por fim, para EinR^1times6, seja v=(x1,x2,x3,x4,x5,x6). Temos:
E,v=(0,1,2,-3,0,-4)x1x2x3x4x5x6=x2+2x3-3x4-4x6
Logo, TE(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=x2+2x3-3x4-4x6.

Resposta

As transformações lineares associadas são:
TAcolonR^2toR^3, TA(x,y)=0x+y0
TBcolonR^2toR^2, TB(x,y)=y-y
TCcolonRtoR^3, TC(t)=t02t
TDcolonR^3toR^5, TD(x,y,z)=y+2z-3z0x-yy+z
TEcolonR^6toR, TE(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=x2+2x3-3x4-4x6

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