- Encontre o ângulo entre os planos:
(a)
(b)
(a)
Passo 1
A questão pede para a gente achar o ângulo entre dois planos em cada item. Isso faz parte de geometria analítica no espaço e vamos usar a ideia de que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.
Passo 2
Primeiro, se um plano é dado por ax+by+cz=d, o vetor normal é
. E o ângulo
entre dois planos com normais
e
satisfaz:
$$\cos \theta = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|,|\vec n_2|}
$$
Passo 3
Para o item (a), os planos são
e
.
Logo
e
.
Calculamos o produto escalar: . As normas são
e
. Assim
Logo
Calculamos o produto escalar:
Então
Passo 4
Para o item (b), os planos são
e
.
Então
e
.
O produto escalar é
.
Como o numerador da fórmula de fica zero, temos
e logo
.
Então
O produto escalar é
Como o numerador da fórmula de
Resposta
(a)
(b)
(b)