1. Encontre o ângulo entre os planos:
    (a)
M: x+y+z=0 e N: z=1
(b)
& M: 5 x+y-z=10 e & N: x-2 y+3 z=-1

Passo 1

A questão pede para a gente achar o ângulo entre dois planos em cada item. Isso faz parte de geometria analítica no espaço e vamos usar a ideia de que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Primeiro, se um plano é dado por ax+by+cz=d, o vetor normal é vec n=(a,b,c). E o ângulo theta entre dois planos com normais vec n1 e vec n2 satisfaz:
$$\cos \theta = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|,|\vec n_2|}
$$

Passo 3

Para o item (a), os planos são
M:x+y+z=0 e N:z=1.
Logo
vec n1=(1,1,1) e vec n2=(0,0,1).
Calculamos o produto escalar: vec n1cdotvec n2=1. As normas são |vec n1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3 e |vec n2|=1. Assim
cos theta = 1raiz3 cdot 1=1raiz3
Então
theta=arccosl(1raiz3r).

Passo 4

Para o item (b), os planos são
M:5x+y-z=10 e N:x-2y+3z=-1.
Então
vec n1=(5,1,-1) e vec n2=(1,-2,3).
O produto escalar é
5cdot1+1cdot(-2)+(-1)cdot3=5-2-3=0.
Como o numerador da fórmula de costheta fica zero, temos costheta=0 e logo
theta=pi2.

Resposta

(a) theta=arccosl(1/raiz3r)
(b) theta=pi/2

Exercícios relacionados