Determine a distância entre os planos
x+y+3 z-2=0 e 6 x-5 z+5=0
x+y+3 z-2=0 e 6 x-5 z+5=0
Passo 1
O enunciado pede a distância entre os planos
e
.
Informações dadas: as duas equações dos planos estão explícitas. A pergunta é única: determinar a distância entre esses dois planos.
Informações dadas: as duas equações dos planos estão explícitas. A pergunta é única: determinar a distância entre esses dois planos.
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicadinho): para saber se a distância entre dois planos é zero ou não, precisamos verificar se eles se intersectam. Dois planos se intersectam se e somente se eles não forem paralelos. A maneira prática de testar paralelismo é comparar os vetores normais dos planos: se os vetores normais forem proporcionais (um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos; caso contrário, eles não são paralelos e, portanto, se intersectam (logo a distância é
). Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Extraindo os vetores normais das equações (o vetor normal é formado pelos coeficientes de
,
,
na equação do plano):
- Para o plano
o vetor normal é . - Para o plano
o vetor normal é .
Passo 4
Agora testamos se
e
são proporcionais. Dois vetores
e
são proporcionais se existir
tal que
,
e
simultaneamente.
Comparando coordenadas: se houvesse
com
então deveríamos ter
Mas isso é impossível, pois
e
não podem ser verdade ao mesmo tempo. Logo
e
não são proporcionais.
Passo 5
Como os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos. Dois planos não paralelos em
sempre se intersectam ao longo de uma reta. Se eles se intersectam, existe pelo menos um ponto que pertence a ambos os planos; isso implica que a distância mínima entre os planos é
(porque a distância entre dois conjuntos que se intersectam é zero). Para ficar mais concreto, vamos achar explicitamente um ponto em comum (isso também serve como verificação):
Da segunda equação temos
Escolho um valor conveniente para
, por exemplo
. Substituindo:
Agora uso isso na primeira equação
:
Portanto o ponto
pertence a ambos os planos. Verificação rápida na segunda equação:
(ok).
Passo 6
Conclusão lógica: existe ponto comum entre os planos, então eles se intersectam; portanto a distância entre eles é
. Observação útil para a prova: se os planos fossem paralelos (normais proporcionais), aí sim usaríamos a fórmula da distância entre planos paralelos. A fórmula é, dada uma normal
e planos
e
,
Aqui porém essa fórmula não se aplica porque os planos não têm mesma normal (não são paralelos).