Determine a distância entre os planos
x+y+3 z-2=0 e 6 x-5 z+5=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
x+y+3z-2=0 e 6x-5z+5=0.
Informações dadas: as duas equações dos planos estão explícitas. A pergunta é única: determinar a distância entre esses dois planos.

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicadinho): para saber se a distância entre dois planos é zero ou não, precisamos verificar se eles se intersectam. Dois planos se intersectam se e somente se eles não forem paralelos. A maneira prática de testar paralelismo é comparar os vetores normais dos planos: se os vetores normais forem proporcionais (um é múltiplo escalar do outro), então os planos são paralelos; caso contrário, eles não são paralelos e, portanto, se intersectam (logo a distância é 0). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Extraindo os vetores normais das equações (o vetor normal é formado pelos coeficientes de x, y, z na equação do plano):
  • Para o plano x+y+3z-2=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(1,1,3).
  • Para o plano 6x-5z+5=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(6,0,-5).

Passo 4

Agora testamos se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são proporcionais. Dois vetores (a,b,c) e (a',b',c') são proporcionais se existir \lambda tal que a'=\lambda a, b'=\lambda b e c'=\lambda c simultaneamente.
Comparando coordenadas: se houvesse \lambda com (6,0,-5)=\lambda(1,1,3) então deveríamos ter
6=\lambda\cdot 1,\qquad 0=\lambda\cdot 1,\qquad -5=\lambda\cdot 3.
Mas isso é impossível, pois 6=\lambda e 0=\lambda não podem ser verdade ao mesmo tempo. Logo \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são proporcionais.

Passo 5

Como os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos. Dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 sempre se intersectam ao longo de uma reta. Se eles se intersectam, existe pelo menos um ponto que pertence a ambos os planos; isso implica que a distância mínima entre os planos é 0 (porque a distância entre dois conjuntos que se intersectam é zero). Para ficar mais concreto, vamos achar explicitamente um ponto em comum (isso também serve como verificação):
Da segunda equação temos
6x-5z+5=0 \implies 6x=5z-5 \implies x=\frac{5z-5}{6}.
Escolho um valor conveniente para z, por exemplo z=1. Substituindo:
x=\frac{5\cdot 1-5}{6}=\frac{0}{6}=0.
Agora uso isso na primeira equação x+y+3z-2=0:
0+y+3\cdot 1-2=0 \implies y+1=0 \implies y=-1.
Portanto o ponto (0,-1,1) pertence a ambos os planos. Verificação rápida na segunda equação: 6\cdot 0-5\cdot 1+5=0 (ok).

Passo 6

Conclusão lógica: existe ponto comum entre os planos, então eles se intersectam; portanto a distância entre eles é \,0. Observação útil para a prova: se os planos fossem paralelos (normais proporcionais), aí sim usaríamos a fórmula da distância entre planos paralelos. A fórmula é, dada uma normal (a,b,c) e planos ax+by+cz+d_1=0 e ax+by+cz+d_2=0,
\text{distância}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.â
Aqui porém essa fórmula não se aplica porque os planos não têm mesma normal (não são paralelos).

Resposta

0

Exercícios relacionados