Determine a distância entre o ponto A(4,3,2) e a reta r:\left{ \begin{array}{l}x=t \\ y=2-t \\ z=3+2 t\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede a distância entre o ponto A(4,3,2) e a reta r dada por
\begin{cases} x=t\\[4pt] y=2-t\\[4pt] z=3+2t \end{cases}
Informações dadas:
A=(4,3,2)
\text{reta }r:\\ x=t,\\ y=2-t,\\ z=3+2t
Não foi pedido outro valor além da distância entre o ponto e a reta.]

Passo 2

Escolher um ponto qualquer P_0 sobre a reta e o vetor diretor \vec{v} da reta. Para t=0 obtemos um ponto na reta:
P_0=(0,2,3)
O vetor diretor \vec{v} vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas:
\vec{v}=(1,-1,2)
Explicação rápida: a reta é descrita por (x,y,z)=P_0+t\vec{v}. Tomamos t=0 só para ter um ponto concreto sobre a reta.

Passo 3

Formar o vetor que vai de P_0 até A:
\vec{P_0A}=A-P_0=(4-0,\;3-2,\;2-3)=(4,1,-1).
Este vetor representa a posição do ponto A em relação a um ponto qualquer P_0 da reta.

Passo 4

Apresentar a fórmula usada e justificar: a distância de um ponto à reta é a projeção perpendicular do vetor \vec{P_0A} sobre a direção perpendicular a \vec{v}. Geometricamente, a área do paralelogramo formado por \vec{P_0A} e \vec{v} é \|\vec{P_0A}\times\vec{v}\|; essa área também é base \|\vec{v}\| vezes altura (a altura é a distância procurada). Logo:
\text{dist}=\frac{\|\vec{P_0A}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.
Aqui \times é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3 e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{P_0A}\times\vec{v}. Usamos a fórmula pelo determinante:
\vec{P_0A}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 4 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
componente \mathbf{i}: 1\cdot 2 - (-1)\cdot(-1)=2-1=1.
componente \mathbf{j}: 4\cdot 2 - (-1)\cdot 1=8-(-1)=9, e lembrando o sinal médio do determinante temos -9 na \mathbf{j}.
componente \mathbf{k}: 4\cdot(-1)-1\cdot 1=-4-1=-5.
Portanto
\vec{P_0A}\times\vec{v}=(1,\,-9,\,-5).]

Passo 6

Calcular as normas:
\|\vec{P_0A}\times\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(-9)^2+(-5)^2}=\sqrt{1+81+25}=\sqrt{107}.
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Aplicando a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{107}{6}}.
Valor aproximado (só para intuição):
\text{dist}\approx 4{,}223\ldots

Resposta

\sqrt{\dfrac{107}{6}}

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