Prove que
, ou seja,
é um subespaço de (
).
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
definido por
também escrito como
A pergunta é: provar que
é um subespaço do espaço vetorial
. Ou seja, devemos mostrar que
satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço (sem assumir nada além do que foi dado).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar (com calma) quais são as propriedades que garantem que um subconjunto
é subespaço. Um subconjunto
é subespaço se e somente se:
-
não é vazio (usualmente mostramos que contém o vetor nulo). -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Também convém lembrar como se somam e escalam vetores em
: para quaisquer
e
,
Passo 3
Mostramos que
contém o vetor nulo. O vetor nulo de
é
. Verificamos a condição do conjunto:
portanto
. Assim
não é vazio. (Ponto importante: todo subespaço precisa conter o vetor nulo; aqui já temos.)
Passo 4
Agora mostramos a hipótese de fechamento por adição. Seja
e
. Pelas hipóteses do conjunto, temos
A soma desses vetores é
Calculamos a soma das componentes desse resultado:
Como a soma das componentes é
, concluímos que
. Portanto
é fechado sob adição.
Passo 5
Agora mostramos o fechamento por multiplicação escalar. Seja
e
. Como
temos
. O vetor escalado é
Somando as componentes desse vetor:
Logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Já demonstramos as três propriedades necessárias:
contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar. Portanto
é um subespaço de
.
Passo 7
Para dar um pouco mais de intuição (útil numa prova oral ou na prova escrita): note que todo elemento de
pode ser escrito como
. Assim
ou seja,
é a reta passando pela origem de equação
em
. Isso confirma que
é um subespaço unidimensional — e nos dá uma forma construtiva de qualquer vetor em
.