Prove que W=\left\{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \in \mathbb{R}^{2}: \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\mathbf{0}\right\}, ou seja, \left.\left.W=(\boldsymbol{u},-\boldsymbol{u}): u \in \mathbb{R}\right\}\right\} é um subespaço de ( \mathbb{R}^{2},+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W definido por
W=\left\{(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})\in\mathbb{R}^{2}:\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\mathbf{0}\right\},
também escrito como
W=\{(\boldsymbol{u},-\boldsymbol{u}):\boldsymbol{u}\in\mathbb{R}\}.
A pergunta é: provar que W é um subespaço do espaço vetorial (\mathbb{R}^{2},+,\cdot). Ou seja, devemos mostrar que W satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço (sem assumir nada além do que foi dado).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar (com calma) quais são as propriedades que garantem que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço. Um subconjunto W é subespaço se e somente se:
  1. W não é vazio (usualmente mostramos que contém o vetor nulo).
  2. W é fechado sob adição: se x\in W e y\in W então x+y\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se x\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha x\in W.
Também convém lembrar como se somam e escalam vetores em \mathbb{R}^{2}: para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^{2} e \alpha\in\mathbb{R},
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
\alpha(x_1,y_1)=(\alpha x_1,\;\alpha y_1).

Passo 3

Mostramos que W contém o vetor nulo. O vetor nulo de \mathbb{R}^{2} é (0,0). Verificamos a condição do conjunto:
0+0=0,
portanto (0,0)\in W. Assim W não é vazio. (Ponto importante: todo subespaço precisa conter o vetor nulo; aqui já temos.)

Passo 4

Agora mostramos a hipótese de fechamento por adição. Seja (u_1,v_1)\in W e (u_2,v_2)\in W. Pelas hipóteses do conjunto, temos
u_1+v_1=0\quad\text{e}\quad u_2+v_2=0.
A soma desses vetores é
(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,\;v_1+v_2).
Calculamos a soma das componentes desse resultado:
(u_1+u_2)+(v_1+v_2)=(u_1+v_1)+(u_2+v_2)=0+0=0.
Como a soma das componentes é 0, concluímos que (u_1+u_2,\;v_1+v_2)\in W. Portanto W é fechado sob adição.

Passo 5

Agora mostramos o fechamento por multiplicação escalar. Seja (u,v)\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Como (u,v)\in W temos u+v=0. O vetor escalado é
\alpha(u,v)=(\alpha u,\;\alpha v).
Somando as componentes desse vetor:
\alpha u+\alpha v=\alpha(u+v)=\alpha\cdot 0=0.
Logo (\alpha u,\;\alpha v)\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Já demonstramos as três propriedades necessárias: W contém o vetor nulo, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação escalar. Portanto W é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Para dar um pouco mais de intuição (útil numa prova oral ou na prova escrita): note que todo elemento de W pode ser escrito como (u,-u)=u(1,-1). Assim
W=\operatorname{span}\{(1,-1)\},
ou seja, W é a reta passando pela origem de equação y=-x em \mathbb{R}^{2}. Isso confirma que W é um subespaço unidimensional — e nos dá uma forma construtiva de qualquer vetor em W.

Resposta

\;W é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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