Determine a distância entre as retas r: X=(-2,2,3)+lambda(1,2,0), mu in R e s: X=(1,2,1)+lambda(-1,1,1), mu in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r:;X=(-2,2,3)+lambda(1,2,0),;lambdainR
e
s:;X=(1,2,1)+mu(-1,1,1),;muinR.
Sabemos que, se duas retas em R^3 se intersectam, a distância entre elas é zero; caso contrário, usaríamos a fórmula
d=l|(PsPr)cdot(utimes v)r||utimes v|,
onde u e v são os vetores-direção de r e s e Pr,Ps pontos quaisquer em cada reta.

Passo 2

Para ver se há interseção, igualamos as coordenadas de
(-2,2,3)+lambda(1,2,0) e (1,2,1)+mu(-1,1,1), isto é, resolvemos
-2+lambda = 1 - mu, 2+2lambda = 2 + mu, 3 = 1 + mu

Passo 3

Da terceira equação vem mu=2. Substituindo na segunda:
2+2lambda = 2+2 implies 2lambda=2 implies lambda=1
Na primeira: -2+1=-1 e 1-2=-1, consistente. Logo existe interseção no ponto (-1,4,3).

Passo 4

Como as retas se intersectam, a distância entre elas é
d=0

Resposta

A distância entre r e s é 0.

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