Determine a distância entre as retas e de equações e r2:lly & =x-3 z & =-x+1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a distância entre duas retas no espaço, a r1 e a r2 . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente para retas no espaço tridimensional. Precisamos entender as equações paramétricas e como calcular a distância entre retas que não são paralelas e não se cruzam (retas senpais).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas. A reta [r_1) está dada pelas equações paramétricas:
E a reta (r_2] está definida por:
Vou reescrever a reta também em forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Passo 3
Para a reta r2 , vamos escolher um parâmetro, digamos s , e expressar x, y, z em função de s . Podemos escrever:
x = s
Então,
y = s - 3 z = -s + 1
Portanto, as equações paramétricas de r2 ficam:
x = s y = s - 3 z = -s + 1
Passo 4
Agora que temos ambas as retas em forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Para r1 , o vetor diretor d1 é obtido pelos coeficientes de t :
d1 = 1 -2 -1
E para r2 , o vetor diretor d2 é obtido pelos coeficientes de s :
d2 = 1 1 -1
Passo 5
Para encontrar a distância entre as duas retas, usamos a fórmula que envolve o vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra reta e os vetores diretores das retas. A fórmula da distância D é:
D = |d1 times d2 cdot PQ||d1 times d2|
onde PQ é o vetor que liga um ponto qualquer da reta r1 a um ponto qualquer da reta r2 , e times representa o produto vetorial.
Passo 6
Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar. Para r1 , quando t = 0 :
P(-1, 3, 1)
Para r2 , quando s = 0 :
Q(0, -3, 1)
Então, o vetor PQ é:
PQ = Q - P = 0 - (-1) -3 - 3 1 - 1 = 1 -6 0
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto vetorial d1 times d2 :