Determine a distância entre as retas r1 e r2 de equações r1:lx=-1+t y=3-2t z=1-t e r2:lly & =x-3 z & =-x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a distância entre duas retas no espaço, a r1 e a r2 . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente para retas no espaço tridimensional. Precisamos entender as equações paramétricas e como calcular a distância entre retas que não são paralelas e não se cruzam (retas senpais).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas. A reta [r_1) está dada pelas equações paramétricas:
E a reta (r_2] está definida por:
Vou reescrever a reta também em forma paramétrica para facilitar os cálculos.

Passo 3

Para a reta r2 , vamos escolher um parâmetro, digamos s , e expressar x, y, z em função de s . Podemos escrever:
x = s
Então,
y = s - 3 z = -s + 1
Portanto, as equações paramétricas de r2 ficam:
x = s y = s - 3 z = -s + 1

Passo 4

Agora que temos ambas as retas em forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Para r1 , o vetor diretor d1 é obtido pelos coeficientes de t :
d1 = 1 -2 -1
E para r2 , o vetor diretor d2 é obtido pelos coeficientes de s :
d2 = 1 1 -1

Passo 5

Para encontrar a distância entre as duas retas, usamos a fórmula que envolve o vetor que conecta um ponto de uma reta a um ponto da outra reta e os vetores diretores das retas. A fórmula da distância D é:
D = |d1 times d2 cdot PQ||d1 times d2|
onde PQ é o vetor que liga um ponto qualquer da reta r1 a um ponto qualquer da reta r2 , e times representa o produto vetorial.

Passo 6

Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar. Para r1 , quando t = 0 :
P(-1, 3, 1)
Para r2 , quando s = 0 :
Q(0, -3, 1)
Então, o vetor PQ é:
PQ = Q - P = 0 - (-1) -3 - 3 1 - 1 = 1 -6 0

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial d1 times d2 :
d1 times d2 = i & j & k 1 & -2 & -1 1 & 1 & -1
Calculando:
i((-2)(-1) - (-1)(1)) - j(1(-1) - (-1)(1)) + k(1(1) - (-2)(1)) = 2 + 1 -(-1 + 1) 1 + 2 = 3 0 3

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar d1 times d2 cdot PQ :
3 0 3 cdot 1 -6 0 = (3)(1) + (0)(-6) + (3)(0) = 3 + 0 + 0 = 3
O valor absoluto disso é |3| = 3 .

Passo 9

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial |d1 times d2| :
|d1 times d2| = raiz3^2 + 0^2 + 3^2 = raiz9 + 0 + 9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
D = 33raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

A distância entre as retas r1 e r2 é raiz22 unidades.

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