Determine uma equação geral para o plano determinado pela reta r e pelo ponto P, onde r:(x, y, z)=(1+t, 3-t, 2+2t) e P(4,1,-1).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que é determinado por uma reta r e por um ponto P . A reta r está dada por (x, y, z) = (1 + t, 3 - t, 2 + 2t) e o ponto P tem coordenadas (4, 1, -1). Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano usando vetores e as propriedades da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta r . Quando t = 0 , os coordenadas do ponto na reta são (1, 3, 2). Vamos chamar esse ponto de A(1, 3, 2) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta r . Observando a equação paramétrica da reta r , vemos que o vetor diretor é d = (1, -1, 2), pois esses são os coeficientes de t em cada componente.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar um vetor que vai do ponto P até o ponto A na reta. Esse vetor é dado por PA = A - P = (1 - 4, 3 - 1, 2 - (-1)) = (-3, 2, 3).

Passo 5

Para encontrar a normal ao plano, que é perpendicular ao plano, precisamos calcular o produto vetorial entre o vetor diretor da reta d e o vetor PA . O produto vetorial n = d times PA nos dará a normal ao plano.
Calculando:
n = i & j & k 1 & -1 & 2 -3 & 2 & 3 = i((-1)(3) - (2)(2)) - j((1)(3) - (2)(-3)) + k((1)(2) - (-1)(-3))
n = i(-3 - 4) - j(3 + 6) + k(2 - 3) = (-7, -9, -1)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n = (-7, -9, -1) , podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano, que pode ser P(4, 1, -1) , e (a, b, c) são os componentes da normal n .
Substituindo:
-7(x - 4) - 9(y - 1) - 1(z + 1) = 0

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
-7x + 28 - 9y + 9 - z - 1 = 0
-7x - 9y - z + 36 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar os coeficientes positivos:
7x + 9y + z - 36 = 0

Resposta

A equação geral do plano é 7x + 9y + z - 36 = 0 .

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