Mostre que o triângulo de vértices \mathrm{A}(-3,4), \mathrm{B}(2,-1), \mathrm{C}(9,6) é triângulo retângulo e calcule a sua área.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo \mathrm{A}(-3,4), \mathrm{B}(2,-1) e \mathrm{C}(9,6) e pede para mostrar que ele é retângulo e calcular sua área. Vamos usar a fórmula da distância no plano para obter os comprimentos dos lados e depois verificar o Teorema de Pitágoras. Em seguida, usaremos a metade do produto dos catetos para encontrar a área.

Passo 2

Calculamos os quadrados das distâncias entre os pares de vértices:
AB^2 = (2 - (-3))^2 + \bigl(-1 - 4\bigr)^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50,
BC^2 = (9 - 2)^2 + \bigl(6 - (-1)\bigr)^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98,
AC^2 = (9 - (-3))^2 + (6 - 4)^2 = 12^2 + 2^2 = 144 + 4 = 148.

Passo 3

Verificamos se vale o Teorema de Pitágoras em algum dos vértices. Observamos que
AB^2 + BC^2 = 50 + 98 = 148 = AC^2.
Como AB e BC se encontram no vértice \mathrm{B}, concluímos que o ângulo \angle ABC é reto, ou seja, o triângulo é retângulo em \mathrm{B}.

Passo 4

Nosso triângulo retângulo tem catetos AB e BC de comprimentos \sqrt{50} e \sqrt{98}. A área de um triângulo retângulo é dada por
\text{Área} = \frac{1}{2}\,\bigl(\text{cateto}_1\bigr)\bigl(\text{cateto}_2\bigr) = \frac{1}{2}\,\sqrt{50}\,\sqrt{98} = \frac{1}{2}\,\sqrt{4900} = \frac{1}{2}\times 70 = 35.Á

Resposta

O triângulo é retângulo no vértice \mathrm{B} e sua área vale 35 unidades quadradas.

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