Determine a distância de
e
e o cosseno do ângulo entre
e
nos seguintes casos:
e
, com produto interno
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a distância entre duas matrizes, chamadas
e
, e também o cosseno do ângulo entre elas. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente conceitos de produto interno e distância em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de produto interno para matrizes, calcular normas (ou comprimentos) das matrizes e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto interno dado na questão. Para duas matrizes
e
, o produto interno é definido como
. Aqui,
é a transposta de
, e
representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
. Primeiro, encontramos a transposta de
:
Agora, multiplicamos
por
:
Agora, a traça dessa matriz é a soma dos elementos da diagonal principal:
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas de
e
, que são necessárias para encontrar a distância e o cosseno do ângulo. A norma de uma matriz
é definida como
.
Primeiro, calculamos
:
A traça é
, então
.
Agora, para
:
Calculando
:
A traça é
, então
.
Passo 5
Agora, vamos achar a distância entre
e
, que são as matrizes
e
. A distância entre dois vetores em um espaço vetorial é dada por
.
Então, calculamos
:
$$
A - B =
$$
Agora, calculamos a norma de
:
Primeiro, encontramos
:
$$
(A - B)^{t} (A - B) =
$$
A traça é
, então
.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o cosseno do ângulo entre
e
. A fórmula para isso é:
Já calculamos
e
. Então:
Resposta
A distância entre
e
é
e o cosseno do ângulo entre eles é
.