Determine a distância de u e v e o cosseno do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
A=(ll1 & 1 0 & 0) e B=(ll0 & 1 1 & 0), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(B^t A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a distância entre duas matrizes, chamadas u e v, e também o cosseno do ângulo entre elas. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente conceitos de produto interno e distância em espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de produto interno para matrizes, calcular normas (ou comprimentos) das matrizes e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto interno dado na questão. Para duas matrizes A e B, o produto interno é definido como lang<= A, B rang<= = tr(B^t A). Aqui, B^t é a transposta de B, e tr representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<=. Primeiro, encontramos a transposta de B:
B^t = 0 & 1 1 & 0
Agora, multiplicamos B^t por A:
B^t A = 0 & 1 1 & 0 1 & 1 0 & 0 = 0*1 + 1*0 & 0*1 + 1*0 1*1 + 0*0 & 1*1 + 0*0 = 0 & 0 1 & 1
Agora, a traça dessa matriz é a soma dos elementos da diagonal principal: 0 + 1 = 1. Portanto, lang<= A, B rang<= = 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de A e B, que são necessárias para encontrar a distância e o cosseno do ângulo. A norma de uma matriz A é definida como |A| = raizlang<= A, A rang<=.
Primeiro, calculamos lang<= A, A rang<=:
A^t A = 1 & 0 1 & 0 1 & 1 0 & 0 = 1*1 + 0*0 & 1*1 + 0*0 1*1 + 0*0 & 1*1 + 0*0 = 1 & 1 1 & 1
A traça é 1 + 1 = 2, então |A| = raiz2.
Agora, para B:
lang<= B, B rang<= = tr(B^t B)
Calculando B^t B:
B^t B = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 0*0 + 1*1 & 0*1 + 1*0 1*0 + 0*1 & 1*1 + 0*0 = 1 & 0 0 & 1
A traça é 1 + 1 = 2, então |B| = raiz2.

Passo 5

Agora, vamos achar a distância entre u e v, que são as matrizes A e B. A distância entre dois vetores em um espaço vetorial é dada por |u - v|.
Então, calculamos A - B:

$$
A - B = A - B = 1 & 1 0 & 0 - 0 & 1 1 & 0 = 1-0 & 1-1 0-1 & 0-0 = 1 & 0 -1 & 0

A - B

|A - B| = raizlang<= A - B, A - B rang<=

lang<= A - B, A - B rang<=
$$
Agora, calculamos a norma de (A - B)^t (A - B) = 1 & -1 0 & 0 1 & 0 -1 & 0 = 1*1 + (-1)*(-1) & 1*0 + (-1)*0 0*1 + 0*(-1) & 0*0 + 0*0 = 2 & 0 0 & 0 :
2 + 0 = 2
Primeiro, encontramos |A - B| = raiz2:

$$
(A - B)^{t} (A - B) =

$$
A traça é , então .

Passo 6

Por fim, vamos calcular o cosseno do ângulo entre u e v. A fórmula para isso é:
cos(theta) = lang<= u, v rang<=|u| |v|
Já calculamos lang<= A, B rang<= = 1 e |A| = |B| = raiz2. Então:
cos(theta) = 1raiz2 times raiz2 = 12

Resposta

A distância entre u e v é raiz2 e o cosseno do ângulo entre eles é 12.

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