Determine as distâncias entre:
As retas r1: y=2 x, z=3 e s:(x, y, z)=(2,-1,2)+t(1,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas possivelmente reversas em R^3. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre retas skew:
d = l|P0Q0cdot (v1times v2)r||v1times v2|,
onde v1 e v2 são vetores diretores das retas e P0, Q0 são pontos quaisquer em cada reta.

Passo 2

Colocamos cada reta em forma paramétrica.
Para r1colon y=2x,;z=3 seja o parâmetro s:
r1(s) = (x,y,z) = (s,,2s,,3),
logo vetor diretor v1=(1,2,0) e escolhemos P0=r1(0)=(0,0,3).
Para scolon(x,y,z)=(2,-1,2)+t(1,-1,3) vemos vetor diretor v2=(1,-1,3) e escolhemos Q0=(2,-1,2).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v1times v2.
v1times v2 =deti&j&k1&2&01&-1&3 =(6,,-3,,-3)
O módulo é
|v1times v2| =raiz6^2+(-3)^2+(-3)^2 =raiz36+9+9 =3raiz6

Passo 4

Formamos o vetor de ligação P0Q0=Q0-P0=(2,-1,2)-(0,0,3)=(2,-1,-1).
Seu produto escalar com v1times v2 é
P0Q0cdot(v1times v2) =(2,-1,-1)cdot(6,-3,-3) =2cdot6+(-1)cdot(-3)+(-1)cdot(-3) =18

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância,
d =l|P0Q0cdot(v1times v2)r||v1times v2| =|18|3raiz6 =183raiz6 =6raiz6 =raiz6

Resposta

A distância entre as retas é raiz6.

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