Determine as equaçẽs simétricas da reta que passa pelo ponto M=(2,1,-1) e é perpendicular à reta r1 de equação vetorial P=(2,0,0)+m(3,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta L que passa por M=(2,1,-1) e é perpendicular à reta
r1:;P(m)=(2,0,0)+m,(3,1,-1)
Conteúdo: reta no espaço, produto escalar e projeção ortogonal de um ponto em uma reta. Para achar L basta (1) encontrar o pé H da perpendicular de M em r1 via condição (M-H)perp v1, onde v1=(3,1,-1), (2) usar o vetor MH como direção de L.

Passo 2

Escrevemos o ponto genérico de r1 como
P(t)=l(2+3t,;t,;-tr)
Queremos H=P(t0) tal que MHcdot v1=0.
MH=H-M=(2+3t-2,;t-1,;-t+1)=(3t,;t-1,;-t+1).
Então
MHcdot v1 =3tcdot3+(t-1)cdot1+(-t+1)cdot(-1) =9t+t-1+,t-1 =11t-2
e exigimos 11t0-2=0, logo
t0=211

Passo 3

Substituindo t0 em P(t), o pé da perpendicular é
H=Pl(tfrac211r) =l(2+tfrac611,;tfrac211,;-,tfrac211r) =l(tfrac2811,;tfrac211,;-tfrac211r)

Passo 4

O vetor direção de L é
u=MH =M-H =l(2-tfrac2811,;1-tfrac211,;-1+ tfrac211r) =l(-tfrac611,;tfrac911,;-,tfrac911r)
Multiplicando por 11 e simplificando por 3, podemos usar
u=(-2,,3,,-3)
Logo a forma paramétrica de L é
(x,y,z)=(2,1,-1)+s,(-2,3,-3)

Passo 5

Das equações paramétricas
x=2-2s, y=1+3s, z=-1-3s
isolamos s e escrevemos simétricas:
x-2-2=y-13=z+1-3

Resposta

x-2-2=y-13=z+1-3

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