(2,5) Determine a distincia do ponto A(3,2,1) a reta s dada por:
s: lx=2 y+2 z=y-1

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A(3,2,1) à reta
s: x = 2y + 2, z = y - 1
O conteúdo é cálculo de distância de um ponto a uma reta no espaço, usando produto vetorial.

Passo 2

Vamos reescrever s em forma paramétrica tomando y=t. Assim
x = 2t + 2, y = t, z = t - 1
ou seja
r(t) = (2+2t,;t,;t-1)

Passo 3

Escolhemos t=0 para obter um ponto P0 na reta:
P0 = (2,0,-1)
O vetor diretor da reta é
v = drdt = (2,1,1)

Passo 4

Formamos o vetor que vai de P0 a A:
P0A = A - P0 = (3-2,;2-0,;1+1) = (1,2,2)
Em seguida calculamos o produto vetorial
P0A times v = i & j & k 1 & 2 & 2 2 & 1 & 1 = (0,,3,,-3)

Passo 5

A norma do produto vetorial é
|P0A times v| = raiz0^2 + 3^2 + (-3)^2 = raiz18 = 3raiz2,
e a norma de v é
|v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6
Logo a distância é
d = |P0A times v||v| = 3raiz2raiz6 = raiz3

Resposta

A distância do ponto A à reta s é raiz3.

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