equaçőes paramétricas de um plano pi.
Explique qual a diferença na construçlo das equaçèes paramétricas e da equaçalo geral do plano
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas do plano
e pede para explicar a diferença na construção dessas equações paramétricas e da equação geral do plano. O conteúdo é geometria analítica de planos no espaço. Para resolver, vamos precisar:
Extrair um ponto e dois vetores diretores a partir das equações paramétricas.
Calcular a normal ao plano por produto vetorial.
Montar a equação geral (ax+by+cz+d=0].
Passo 2
Construção das equações paramétricas
Identificamos um ponto P0 no plano ao anular os parâmetros h e t: P0 = (x,y,z)|h=0,t=0 = (1,,1,,2)
Extraímos os vetores diretores examinando os incrementos quando um parâmetro varia e o outro fica zero:
Para h: v = l(De<a x,De<a y,De<a zr)|De<a h=1,;t=0 = (2,,0,,1)
Para t: w = l(De<a x,De<a y,De<a zr)|h=0,;De<a t=1 = (-1,,-3,,-2)
Assim, a forma vetorial paramétrica do plano é r(h,t) = P0 + h,v + t,w = (1,1,2) + h,(2,0,1) + t,(-1,-3,-2)
Passo 3
Construção da equação geral
Calculamos o vetor normal n pela regra do produto vetorial: n = v times w = det i & j & k 2 & 0 & 1 -1 & -3 & -2 = (3,,3,,-6)
A equação geral do plano usa ncdot(r-P0)=0: (3,3,-6)cdot(x-1,y-1,z-2)=0
3(x-1)+3(y-1)-6(z-2)=0
3x-3+3y-3-6z+12=0
x + y -2z +2 = 0
Passo 4
Diferença de construção
Nas equações paramétricas usamos um ponto P0 qualquer do plano e dois vetores diretores v,w que geram todas as direções dentro do plano; introduzimos parâmetros (h,t) para “varrer” o plano.
Na equação geral encontramos primeiro o vetor normal n (ortogonal ao plano) e, a partir dele e de um ponto, escrevemos uma única equação escalar ax+by+cz+d=0 que engloba todos os pontos do plano sem expor parâmetros.
Resposta
A construção paramétrica exige escolher um ponto e dois vetores diretores, introduzindo parâmetros que geram o plano; já a construção da equação geral usa o vetor normal (produto vetorial dos diretores) e resulta numa fórmula escalar ax+by+cz+d=0 que define o plano implicitamente.