(2,5) Sendo
l x=1+2 h-t y=1-3 t z=2+h-2 t
equaçőes paramétricas de um plano pi.
Obtenha uma equaçáo geral do plano.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas de um plano pi em função de dois parâmetros h e t:
x = 1 + 2h - t, y = 1 - 3t, z = 2 + h - 2t
O conteúdo é geometria analítica: vamos passar para a forma vetorial, extrair dois vetores diretores, calcular o vetor normal por produto vetorial e, por fim, usar a equação ponto-normal do plano para achar a equação geral.

Passo 2

Escrevemos o ponto base e os vetores diretores. Tomando e como escalares,
Logo, o ponto é e os vetores diretores são
e .

Passo 3

Calculamos o vetor normal vec n=vec utimes vec v.
vec n = i&j&k 2&0&1 -1&-3&-2 = l(0cdot(-2)-1cdot(-3),,-l(2cdot(-2)-1cdot(-1)r),,2cdot(-3)-0cdot(-1)r) =(3,3,-6)
Podemos simplificar vec n para (1,1,-2) dividindo por 3.

Passo 4

Usamos a equação ponto-normal
vec ncdotl(,(x,y,z)-(1,1,2)r)=0
Substituindo vec n=(1,1,-2) e (x-1,y-1,z-2),
1,(x-1)+1,(y-1)-2,(z-2)=0 ;Longrightarrow; x-1+y-1-2z+4=0 ;Longrightarrow; x+y-2z+2=0

Resposta

A equação geral do plano é
boxedx+y-2z+2=0

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