Resolva a inequação
ln (x^2)4(2 x^3+2 x^2+3 x+3)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
lnl(x^2r)4l(2x^3+2x^2+3x+3r)<0
O conteúdo envolvido é o estudo de sinal de uma função racional com logaritmo natural. Para resolver, vamos
1. determinar o domínio e os pontos críticos (zeros do numerador e da denominação),
2. analisar o sinal de cada fator,
3. montar um quadro de sinais e
4. escolher os intervalos em que a fração é negativa.

Passo 2

Determinar o domínio e fatorar o denominador.
– A expressão exige .
– O denominador não pode ser zero, e factoriza-se por agrupamento:
Como e para todo , o único zero do denominador vem de , isto é, .
Logo o domínio é

Passo 3

Analisar o sinal do numerador ln(x^2).
ln(x^2)>0 se x^2>1, ou seja lvert xrvert>1 ( x<-1 ou x>1).
ln(x^2)=0 se x^2=1, ou seja x=pm1.
ln(x^2)<0 se 0< x^2<1, ou seja -1<x<0 ou 0<x<1.

Passo 4

Analisar o sinal do denominador 4(2x^2+3)(x+1).
Como 4>0 e 2x^2+3>0 sempre, o sinal é o sinal de (x+1):
– negativo para x<-1,
– zero em x=-1 (fora do domínio),
– positivo para x>-1.

Passo 5

Montar o quadro de sinais nos intervalos críticos.
Intervalos críticos:
(-infty,-1),;(-1,0),;(0,1),;(1,infty)
Tabela de sinais:
c|cccc x & (-infty,-1) & (-1,0) & (0,1) & (1,infty)hline ln(x^2)& + & - & - & + x+1 & - & + & + & + ln(x^2)4(2x^2+3)(x+1) & - & - & - & +

Passo 6

Como queremos
ln(x^2)4(2x^3+2x^2+3x+3)<0,
selecionamos os intervalos onde o sinal da fração é negativo. Do quadro, são
(-infty,-1),(-1,0),(0,1)
Em x=pm 1 a fração vale zero (não satisfaz <0), e em x=-1,0 não está definida.

Resposta

xin(-infty,-1),cup,(-1,0),cup,(0,1)

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