Resolva a inequação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
O conteúdo envolvido é o estudo de sinal de uma função racional com logaritmo natural. Para resolver, vamos
. determinar o domínio e os pontos críticos (zeros do numerador e da denominação),
. analisar o sinal de cada fator,
. montar um quadro de sinais e
. escolher os intervalos em que a fração é negativa.
Passo 2
Determinar o domínio e fatorar o denominador.
– A expressão exige
.
– O denominador não pode ser zero, e factoriza-se por agrupamento:
– A expressão
– O denominador
Como
e
para todo
, o único zero do denominador vem de
, isto é,
.
Logo o domínio é
Logo o domínio é
Passo 3
Analisar o sinal do numerador
.
– se
, ou seja
(
ou
).
– se
, ou seja
.
– se
, ou seja
ou
.
–
–
–
Passo 4
Analisar o sinal do denominador
.
Como e
sempre, o sinal é o sinal de
:
– negativo para ,
– zero em (fora do domínio),
– positivo para .
Como
– negativo para
– zero em
– positivo para
Passo 5
Montar o quadro de sinais nos intervalos críticos.
Intervalos críticos:
Tabela de sinais:
Passo 6
Como queremos
selecionamos os intervalos onde o sinal da fração é negativo. Do quadro, são
Em
a fração vale zero (não satisfaz
), e em
não está definida.