Resolva a inequação
2 x^2-x-103(x^3-7 x-6)<0

Passo 1

Beleza, o enunciado é resolver a inequação
2x^2-x-103l(x^3-7x-6r)<0
Isso é uma inequação racional. Pra gente abrir o jogo e descobrir onde isso é negativo, vamos precisar de:
  1. fatorar o numerador e o denominador pra achar suas raízes;
  2. montar o quadro de sinais da fração;
  3. lembrar que denominador não pode ser zero (pra não dividir por zero).

Passo 2

Fatorando cada parte:
Numerador: 2x^2 - x - 10 = 2l(x - tfrac52r)(x + 2), porque as raízes são
x = 1pmraiz1+804 ;=;1pm94 ;Longrightarrow;x=-2e x=tfrac52
Denominador:
x^3 - 7x - 6 = (x-3)(x+1)(x+2),
pois 3, -1 e -2 são raízes (checando por tentativa e divisão sintética).
Então a fração vira
2(x - tfrac52)(x + 2)3,(x-3)(x+1)(x+2)

Passo 3

Note que há um fator comum (x+2) em cima e embaixo. A gente pode cancelar, mas fica a ressalva:
x=-2 é ponto proibido (denominador zero).
Depois de cancelar, a expressão equivalente (fora x=-2,-1,3) é
2,(x-tfrac52)3,(x-3)(x+1)

Passo 4

Agora o quadro de sinais. Os pontos críticos são onde cada fator muda de sinal ou fica indefinido:
x=-!2,;-1,;tfrac52,;3
Dividimos a reta em
(-infty,-2),;(-2,-1),;(-1,tfrac52),;(tfrac52,3),;(3,infty)
e testamos um ponto em cada intervalo na expressão
F(x)=x-tfrac52(x-3)(x+1)
(ignora o “2/3” porque é positivo e não muda sinal).
  1. Em x=-3in(-infty,-2):
    ,x-tfrac52<0, (x-3)<0, (x+1)<0 → denom positivo → F<0.
  2. Em x=-1.5in(-2,-1):
    ,x-tfrac52<0, (x-3)<0, (x+1)<0 → denom positivo → F<0.
  3. Em x=0in(-1,tfrac52):
    ,x-tfrac52<0, (x-3)<0, (x+1)>0 → denom negativo → F>0.
  4. Em x=2.6in(tfrac52,3):
    ,x-tfrac52>0, (x-3)<0, (x+1)>0 → denom negativo → F<0.
  5. Em x=4in(3,infty):
    ,x-tfrac52>0, (x-3)>0, (x+1)>0 → denom positivo → F>0.
Queremos onde F<0, isto é, nos intervalos:
(-infty,-2),;(-2,-1);e;(tfrac52,3)

Resposta

boxedxin(-infty,-2),cup,(-2,-1),cup,l(tfrac52,3r)

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