Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x z^{2} \vec{j}+3 z^{2} x \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede a divergência e o rotacional (curl) do campo de vetores
\vec{F}(x,y,z) = x^{2}y\,\vec{i} \;+\; xz^{2}\,\vec{j} \;+\; 3z^{2}x\,\vec{k}.
O conteúdo que vamos usar é:
  1. Definição de divergência:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z},
onde \vec{F}=(P,Q,R).
2. Definição de rotacional:
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\,\vec{i} +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\,\vec{j} +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\vec{k}.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo:
P(x,y,z)=x^{2}y,\quad Q(x,y,z)=xz^{2},\quad R(x,y,z)=3z^{2}x.
Para a divergência, vamos calcular \frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y} e \frac{\partial R}{\partial z}.

Passo 3

Cálculo dos parciais para a divergência:
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = 2x\,y,
\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x z^{2}) = 0,
\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3z^{2}x) = 6z\,x.
Somando-os, obtemos
\nabla\cdot\vec{F} =2x\,y + 0 + 6z\,x =2xy +6xz.

Passo 4

Para o rotacional, aplicamos a fórmula componente a componente:
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\vec{i} +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\vec{j} +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\vec{k}.

Passo 5

Cálculo dos parciais para o rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y} =0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} =2xz,
logo componente \vec{i} é
0 - 2xz = -2xz.
\frac{\partial P}{\partial z} =0, \quad \frac{\partial R}{\partial x} =3z^{2},
logo componente \vec{j} é
0 - 3z^{2} = -3z^{2}.
\frac{\partial Q}{\partial x} =z^{2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =x^{2},
logo componente \vec{k} é
z^{2} - x^{2}.
Portanto
\nabla\times\vec{F} =-2xz\,\vec{i} \;-\; 3z^{2}\,\vec{j} \;+\; (z^{2}-x^{2})\,\vec{k}.

Resposta

A divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=2xy+6xz,
e o rotacional é
\nabla\times\vec{F} =-2xz\,\vec{i}-3z^{2}\,\vec{j}+(z^{2}-x^{2})\,\vec{k}.

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