Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos vetoriais.
F(x, y, z)=x^2 i-y^2 j+z^2 k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=x^2,i-y^2,j+z^2,k. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial: o operador divergente ( nablacdot) e o operador rotacional ( nablatimes).

Passo 2

Para achar a divergência usamos a definição
nablacdotF = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aqui temos Fx=x^2, Fy=-y^2 e Fz=z^2, então
nablacdotF = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(-y^2) + partialpartial z(z^2) = 2x - 2y + 2z

Passo 3

Para calcular o rotacional usamos a fórmula em forma de determinante
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz x^2 & -y^2 & z^2
Extraindo cada componente:
  • Componente i: partialy(z^2)-partialz(-y^2)=0-0=0.
  • Componente j: partialz(x^2)-partialx(z^2)=0-0=0.
  • Componente k: partialx(-y^2)-partialy(x^2)=0-0=0.
    Assim o rotacional é o vetor nulo.

Passo 4

As fórmulas e definições usadas foram: 1) Divergência de um campo F=(Fx,Fy,Fz) e 2) Rotacional via determinante com as derivadas parciais.

Resposta

A divergência é 2x - 2y + 2z e o rotacional é 0.

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