(a) Encontre a energia do estado fundamental (n=1) e dos dois primeiros estados excitados de um elétron confinado numa caixa unidimensional de comprimento L=0,200 times 10^-9 m. Faça um diagrama de níveis de energia para o sistema. Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron realiza uma transição de (b) n=2 para n=1, (c) n=3 para n=2 e (d) n=3 para n=1.

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado numa caixa unidimensional infinita de comprimento L=0,200times10^-9,m. O conteúdo é “poço de potencial infinito” na Mecânica Quântica, em que os níveis de energia são
En = n^2 h^28 m L^2,
sendo n=1,2,3,dots, h a constante de Planck e m a massa do elétron. Vamos usar essa expressão para obter E1, E2 e E3, depois fazer o diagrama de níveis e, por fim, calcular o comprimento de onda da radiação emitida em transições específicas usando
lambda = hcDe<a E

Passo 2

Aplicando
E1 = 1^2,h^28,m,L^2
com h=6,626times10^-34, Jcdot s, m=9,109times10^-31,kg e L=2,00times10^-10,m, temos
E1 = (6,626times10^-34)^28,(9,109times10^-31),(2,00times10^-10)^2 approx 1,506times10^-18 J
Convertendo para elétron-volts ( 1 eV=1,602times10^-19,J),
E1 approx 1,506times10^-181,602times10^-19 approx 9,40 eV

Passo 3

Como Enpropto n^2, temos
E2 = 4,E1 approx 4times9,40 = 37,6 eV,
E3 = 9,E1 approx 9times9,40 = 84,6 eV

Passo 4

Diagrama de níveis de energia (valores em eV):
n=3:; &E3=84,6 n=2:; &E2=37,6 n=1:; &E1=9,40

Passo 5

Para a transição n=2to n=1,
De<a E21=E2-E1=37,6-9,40=28,2 eV
Usando lambda=dfrachcDe<a E com hc=1240,e Vcdot nm,
lambda21=124028,2approx 44,0 nm

Passo 6

Para a transição n=3to n=2,
De<a E32=E3-E2=84,6-37,6=47,0 eV,
lambda32=124047,0approx 26,4 nm

Passo 7

Para a transição n=3to n=1,
De<a E31=E3-E1=84,6-9,40=75,2 eV,
lambda31=124075,2approx 16,5 nm

Resposta

(a) E1=9,40,eV, E2=37,6,eV, E3=84,6,eV.
(b) lambda21approx44,0,nm.
(c) lambda32approx26,4,nm.
(d) lambda31approx16,5,nm.

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