Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais:
P=x^2 y ax+x z az

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente encontrar a divergência do campo vetorial P=x^2 y ax+x z az. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operações com campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é divergência e como calculá-la usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede como o campo “se expande” ou “se contrai” em cada ponto. Matematicamente, para um campo vetorial F=Fx i + Fy j + Fz k, a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, o campo P tem componentes nas direções x e z, então Fy = 0.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo P:
  • Fx = x^2 y
  • Fy = 0
  • Fz = x z

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de Fx em relação a x:
partial Fxpartial x = partial (x^2 y)partial x = 2x y
Aqui, tratamos y como constante ao derivar em relação a x.
  1. Derivada de Fy em relação a y:
partial Fypartial y = partial 0partial y = 0
  1. Derivada de Fz em relação a z:
partial Fzpartial z = partial (x z)partial z = x
Aqui, x é tratado como constante ao derivar em relação a z.

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot P = 2x y + 0 + x = 2x y + x

Resposta

A divergência do campo vetorial P é nabla cdot P = x(2y + 1).

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