Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente encontrar a divergência do campo vetorial
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operações com campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é divergência e como calculá-la usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede como o campo “se expande” ou “se contrai” em cada ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
No nosso caso, o campo
tem componentes nas direções
e
, então
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada de
em relação a :
Aqui, tratamos
como constante ao derivar em relação a
.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Aqui,
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é
.