Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é domínio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em seu domínio. Vamos primeiro determinar esse domínio usando as restrições da raiz e do denominador e depois aplicar teoremas de continuidade por composição e quociente.
é contínua em seu domínio. Vamos primeiro determinar esse domínio usando as restrições da raiz e do denominador e depois aplicar teoremas de continuidade por composição e quociente.
Passo 2
Para encontrar o domínio de
impomos duas condições:
1. Radicando não-negativo:
2. Denominador não nulo:
Como
está em
, a segunda condição não exclui pontos de
. Logo
Passo 3
Definimos
. Como
é polinomial (logo contínua em
) e
é contínua em
, pelo teorema de composição concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Definimos
. Essa é também polinomial, portanto contínua em
. Em
temos
, então a função
é contínua em
pelo teorema do quociente.
Passo 5
Finalmente,
é produto de funções contínuas em
, logo
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
O domínio de
é
e
é contínua em cada ponto desse conjunto.