Mostre que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é domínio.
g(x)=raizx^2-9x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
g(x)=raizx^2-9x^2-2
é contínua em seu domínio. Vamos primeiro determinar esse domínio usando as restrições da raiz e do denominador e depois aplicar teoremas de continuidade por composição e quociente.

Passo 2

Para encontrar o domínio de g impomos duas condições:
1. Radicando não-negativo:
x^2-9>=0implies |x|>=3
2. Denominador não nulo:
x^2-2neq0implies xneqpmraiz2
Como pmraiz2 está em (-3,3), a segunda condição não exclui pontos de |x|>=3. Logo
D = xmid |x|>=3=(-infty,-3]cup[3,infty)

Passo 3

Definimos f(x)=raizx^2-9. Como xmapsto x^2-9 é polinomial (logo contínua em R) e raizt é contínua em [0,infty), pelo teorema de composição concluímos que f é contínua em D.

Passo 4

Definimos h(x)=x^2-2. Essa é também polinomial, portanto contínua em R. Em D temos h(x)neq0, então a função 1/h(x) é contínua em D pelo teorema do quociente.

Passo 5

Finalmente, g(x)=f(x)cdot1h(x) é produto de funções contínuas em D, logo g é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

O domínio de g é (- infty, -3] cup [3, infty) e g é contínua em cada ponto desse conjunto.

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