Determine:
O divergente dos seguintes campos vetoriais:
O divergente dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente de dois campos vetoriais em coordenadas cartesianas. As informações dadas são os campos (peguei os componentes diretamente do enunciado):
-
Campo
: - componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
- componente em
-
Campo
: - componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
- componente em
O que é pedido: calcular
e
.
Passo 2
Definição e regras que vou usar (aulas rápidas e práticas):
- Em coordenadas cartesianas, o divergente de um campo vetorial
é
Isto significa: derivar cada componente em relação à sua variável correspondente e somar.
- Regra da cadeia (quando aparece uma função composta
): -
.
Ex.:; .
-
Vou aplicar essas regras passo a passo a cada componente.
Passo 3
Cálculo do divergente de
. Vou calcular as três derivadas parciais separadamente.
- Derivada parcial da componente
:
Aplicando a regra da cadeia: a constante
fica fora e
. Como
é tratado como constante ao derivar em
,
. Logo
- Derivada parcial da componente
:
Aqui
é tratado como constante; use a regra da cadeia com
. Temos
e
. Portanto
- Derivada parcial da componente
:
Aqui
é constante em relação a
, então
Somando as três contribuições obtemos o divergente de
:
Passo 4
Cálculo do divergente de
. Novamente faço cada derivada parcial.
- Derivada parcial da componente
:
- Derivada parcial da componente
:
Aqui
,
e
. Logo
- Derivada parcial da componente
:
Somando as três contribuições obtemos o divergente de
:
Passo 5
Rápida interpretação e checagem: as derivações aplicaram regras elementares (derivada de exponencial composta, derivada de trigonometria composta e derivadas polinomiais). As expressões estão em função de
como esperado. Se quiser checar em um ponto específico é só substituir os valores de
.