Determine:
O divergente dos seguintes campos vetoriais:
S=2 e^{-2 x z} \boldsymbol{a}_{x}+(\cos 3 x y) \boldsymbol{a}_{y}+x^{2} z \boldsymbol{a}_{z}, R=2 x \boldsymbol{a}_{x}+(\sin 3 y) \boldsymbol{a}_{y}+z^{2} \boldsymbol{a}_{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente de dois campos vetoriais em coordenadas cartesianas. As informações dadas são os campos (peguei os componentes diretamente do enunciado):
  • Campo S:
    • componente em x: 2 e^{-2 x z},
    • componente em y: \cos 3 x y,
    • componente em z: x^{2} z.
  • Campo R:
    • componente em x: 2 x,
    • componente em y: \sin 3 y,
    • componente em z: z^{2}.
O que é pedido: calcular \nabla\cdot S e \nabla\cdot R.

Passo 2

Definição e regras que vou usar (aulas rápidas e práticas):
  • Em coordenadas cartesianas, o divergente de um campo vetorial \mathbf{F} = F_x\boldsymbol{a}_x + F_y\boldsymbol{a}_y + F_z\boldsymbol{a}_z é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Isto significa: derivar cada componente em relação à sua variável correspondente e somar.
  • Regra da cadeia (quando aparece uma função composta f(u(x,y,z))):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}f(u(x,y,z))=f'(u)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
      Ex.: \dfrac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}u'(x); \dfrac{d}{dy}\big(\cos(u(y))\big)=-\sin(u(y))u'(y).
Vou aplicar essas regras passo a passo a cada componente.

Passo 3

Cálculo do divergente de S. Vou calcular as três derivadas parciais separadamente.
  1. Derivada parcial da componente x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2 e^{-2 x z}\big).
Aplicando a regra da cadeia: a constante 2 fica fora e \dfrac{\partial}{\partial x}e^{-2 x z}=e^{-2 x z}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(-2 x z). Como z é tratado como constante ao derivar em x, \dfrac{\partial}{\partial x}(-2 x z)=-2 z. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(2 e^{-2 x z}\big)=2\cdot e^{-2 x z}\cdot(-2 z)=-4 z\, e^{-2 x z}.
  1. Derivada parcial da componente y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos 3 x y\big).
Aqui x é tratado como constante; use a regra da cadeia com u=3xy. Temos \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u e \dfrac{\partial u}{\partial y}=3x. Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos 3 x y\big)=-\sin(3 x y)\cdot 3x=-3 x\,\sin(3 x y).
  1. Derivada parcial da componente z:
\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} z\big).
Aqui x^{2} é constante em relação a z, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} z\big)=x^{2}.
Somando as três contribuições obtemos o divergente de S:
\nabla\cdot S = -4 z\, e^{-2 x z} -3 x\,\sin(3 x y) + x^{2}.

Passo 4

Cálculo do divergente de R. Novamente faço cada derivada parcial.
  1. Derivada parcial da componente x:
\frac{\partial}{\partial x}(2 x)=2.
  1. Derivada parcial da componente y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin 3 y\big).
Aqui u=3y, \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u e \dfrac{du}{dy}=3. Logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin 3 y\big)=\cos(3 y)\cdot 3=3\cos(3 y).
  1. Derivada parcial da componente z:
\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}\big)=2 z.
Somando as três contribuições obtemos o divergente de R:
\nabla\cdot R = 2 + 3\cos(3 y) + 2 z.

Passo 5

Rápida interpretação e checagem: as derivações aplicaram regras elementares (derivada de exponencial composta, derivada de trigonometria composta e derivadas polinomiais). As expressões estão em função de x,y,z como esperado. Se quiser checar em um ponto específico é só substituir os valores de x,y,z.

Resposta

\nabla\cdot S=-4 z\, e^{-2 x z}-3 x\,\sin(3 x y)+x^{2}
\nabla\cdot R=2+3\cos(3 y)+2 z

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