Determine:
O laplaciano dos seguintes campos escalares:
O laplaciano dos seguintes campos escalares:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o laplaciano dos dois campos escalares dados. As informações do enunciado são:
- Primeiro campo:
. - Segundo campo:
.
As perguntas são:
- Calcular
(o laplaciano de ). - Calcular
(o laplaciano de ).
Passo 2
Lembrete do que é laplaciano e regras que vou usar (fórmulas e princípios):
- O laplaciano de um escalar
é
- Para derivadas vou usar as regras básicas:
- Regra do produto:
, onde . - Regra da cadeia:
e similar para .
- Regra do produto:
- Observação prática: se uma função não depende de uma variável, as derivadas parciais em relação a essa variável são zero.
Passo 3
Começo com
. Escrevo
separando os termos:
Note que
não depende de
, logo
. Vou calcular
e
e somar.
Primeiro termo
:
E como esse termo não depende de
e
,
Passo 4
Agora trato
. Vou calcular
usando produto e cadeia:
- Tome
e .
Pelo produto,
Passo 5
Agora calculo
. Derivo cada parcela de
em relação a
.
Primeira parcela:
.
Segunda parcela:
.
Somando as duas contribuições:
Passo 6
Agora calculo
. Começo por
. Usando
e
:
Então
Agora derivo em
cada parcela:
Primeira parcela:
.
Segunda parcela:
.
Somando:
Passo 7
Agora reúno tudo para
. Lembre que
mas
. Então somo as partes já calculadas:
Termo exponencial:
Termos vindos de
:
Somando e agrupando os termos com
e
:
Passo 8
Agora calculo
para
.
Vou obter as segunda derivadas individuais.
Derivadas em
:
porque a derivada em
é independente de
.
Derivadas em
:
Derivadas em
:
Passo 9
Somando as três segundas derivadas para obter o laplaciano:
Fatorando
: