Determine:
O laplaciano dos seguintes campos escalares:
V=2 e^{-2 x}+(\cos 3 x y) x^{2} y^{3} \quad R=2 x(\sin 3 y) z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o laplaciano dos dois campos escalares dados. As informações do enunciado são:
  • Primeiro campo: V(x,y,z)=2 e^{-2x}+x^{2}y^{3}\cos(3xy).
  • Segundo campo: R(x,y,z)=2x\sin(3y)\,z^{2}.
As perguntas são:
  • Calcular \Delta V (o laplaciano de V).
  • Calcular \Delta R (o laplaciano de R).

Passo 2

Lembrete do que é laplaciano e regras que vou usar (fórmulas e princípios):
  • O laplaciano de um escalar f(x,y,z) é
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
  • Para derivadas vou usar as regras básicas:
    • Regra do produto: \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(u v)=u_x v+u v_x, onde u_x=\partial u/\partial x.
    • Regra da cadeia: \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(\cos(g(x)))=-\sin(g(x))\,g'(x) e similar para \sin.
  • Observação prática: se uma função não depende de uma variável, as derivadas parciais em relação a essa variável são zero.

Passo 3

Começo com \Delta V. Escrevo V separando os termos:
V(x,y,z)=2 e^{-2x}+f(x,y),\qquad f(x,y)=x^{2}y^{3}\cos(3xy).
Note que V não depende de z, logo \partial^{2}V/\partial z^{2}=0. Vou calcular \partial^{2}V/\partial x^{2} e \partial^{2}V/\partial y^{2} e somar.
Primeiro termo 2 e^{-2x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2 e^{-2x}\big)=2(-2)e^{-2x}=-4 e^{-2x},
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(2 e^{-2x}\big)=(-4)(-2)e^{-2x}=8 e^{-2x}.
E como esse termo não depende de y e z,
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(2 e^{-2x}\big)=0,\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\big(2 e^{-2x}\big)=0.

Passo 4

Agora trato f(x,y)=x^{2}y^{3}\cos(3xy). Vou calcular \partial f/\partial x usando produto e cadeia:
  • Tome u(x,y)=x^{2}y^{3} e v(x,y)=\cos(3xy).
u_x=2x y^{3},\qquad v_x=-\sin(3xy)\cdot 3y=-3y\sin(3xy).
Pelo produto,
\frac{\partial f}{\partial x}=u_x v+u v_x=2x y^{3}\cos(3xy)-3x^{2}y^{4}\sin(3xy).

Passo 5

Agora calculo \partial^{2} f/\partial x^{2}. Derivo cada parcela de \partial f/\partial x em relação a x.
Primeira parcela: 2x y^{3}\cos(3xy).
\frac{\partial}{\partial x}\big(2x y^{3}\cos(3xy)\big)=2 y^{3}\cos(3xy)+2x y^{3}\big(-3y\sin(3xy)\big)
=2 y^{3}\cos(3xy)-6x y^{4}\sin(3xy).
Segunda parcela: -3x^{2}y^{4}\sin(3xy).
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3x^{2}y^{4}\sin(3xy)\big)=-6x y^{4}\sin(3xy)-3x^{2}y^{4}\big(3y\cos(3xy)\big)
=-6x y^{4}\sin(3xy)-9x^{2}y^{5}\cos(3xy).
Somando as duas contribuições:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2 y^{3}\cos(3xy)-12 x y^{4}\sin(3xy)-9 x^{2} y^{5}\cos(3xy).

Passo 6

Agora calculo \partial^{2} f/\partial y^{2}. Começo por \partial f/\partial y. Usando u=x^{2}y^{3} e v=\cos(3xy):
u_y=3x^{2}y^{2},\qquad v_y=-\sin(3xy)\cdot 3x=-3x\sin(3xy).
Então
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}\cos(3xy)-3x^{3}y^{3}\sin(3xy).
Agora derivo em y cada parcela:
Primeira parcela: 3x^{2}y^{2}\cos(3xy).
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y^{2}\cos(3xy)\big)=6x^{2}y\cos(3xy)+3x^{2}y^{2}\big(-3x\sin(3xy)\big)
=6x^{2}y\cos(3xy)-9x^{3}y^{2}\sin(3xy).
Segunda parcela: -3x^{3}y^{3}\sin(3xy).
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3x^{3}y^{3}\sin(3xy)\big)=-9x^{3}y^{2}\sin(3xy)-3x^{3}y^{3}\big(3x\cos(3xy)\big)
=-9x^{3}y^{2}\sin(3xy)-9x^{4}y^{3}\cos(3xy).
Somando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x^{2}y\cos(3xy)-18x^{3}y^{2}\sin(3xy)-9x^{4}y^{3}\cos(3xy).

Passo 7

Agora reúno tudo para \Delta V. Lembre que
\Delta V=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(2 e^{-2x})+\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}(2 e^{-2x}),
mas \partial^{2}/\partial z^{2}(2 e^{-2x})=0. Então somo as partes já calculadas:
Termo exponencial:
8 e^{-2x}.
Termos vindos de f:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \big(2 y^{3}\cos(3xy)-12 x y^{4}\sin(3xy)-9 x^{2} y^{5}\cos(3xy)\big)
\quad+\big(6x^{2}y\cos(3xy)-18x^{3}y^{2}\sin(3xy)-9x^{4}y^{3}\cos(3xy)\big).
Somando e agrupando os termos com \cos(3xy) e \sin(3xy):
\Delta V=8 e^{-2x}+\big(2 y^{3}+6x^{2}y-9x^{2}y^{5}-9x^{4}y^{3}\big)\cos(3xy)
\qquad+\big(-12x y^{4}-18x^{3}y^{2}\big)\sin(3xy).

Passo 8

Agora calculo \Delta R para R(x,y,z)=2x\sin(3y)\,z^{2}.
Vou obter as segunda derivadas individuais.
Derivadas em x:
\frac{\partial R}{\partial x}=2\sin(3y)\,z^{2},\qquad \frac{\partial^{2} R}{\partial x^{2}}=0
porque a derivada em x é independente de x.
Derivadas em y:
\frac{\partial R}{\partial y}=2x z^{2}\cdot 3\cos(3y)=6x z^{2}\cos(3y),
\frac{\partial^{2} R}{\partial y^{2}}=6x z^{2}\cdot(-3\sin(3y))=-18x z^{2}\sin(3y).
Derivadas em z:
\frac{\partial R}{\partial z}=2x\sin(3y)\cdot 2z=4x\sin(3y)\,z,
\frac{\partial^{2} R}{\partial z^{2}}=4x\sin(3y).

Passo 9

Somando as três segundas derivadas para obter o laplaciano:
\Delta R=\frac{\partial^{2} R}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} R}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} R}{\partial z^{2}} =0-18x z^{2}\sin(3y)+4x\sin(3y).
Fatorando x\sin(3y):
\Delta R=x\sin(3y)\big(4-18z^{2}\big)=2x\sin(3y)\big(2-9z^{2}\big).

Resposta

\displaystyle \Delta V=8 e^{-2x}+\big(2 y^{3}+6x^{2}y-9x^{2}y^{5}-9x^{4}y^{3}\big)\cos(3xy)+\big(-12x y^{4}-18x^{3}y^{2}\big)\sin(3xy)
\displaystyle \Delta R= x\sin(3y)\big(4-18z^{2}\big)=2x\sin(3y)\big(2-9z^{2}\big)

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