Em quanto aumentará, aproximadamente, o lado de um quadrado, se sua área aumenta de 9 m^{2} a 9,1 m^{2} ?

Passo 1

O enunciado pergunta quanto aumenta, aproximadamente, o lado de um quadrado quando sua área passa de 9\text{ m}^2 para 9,1\text{ m}^2. Vamos usar o fato de que, para variações pequenas, se A=x^2 então \mathrm{d}A e \mathrm{d}x estão relacionados por diferencial.

Passo 2

O lado inicial x_0 satisfaz
x_0 = \sqrt{9} = 3\text{ m}.

Passo 3

Como A=x^2, temos por diferencial
\mathrm{d}A = 2x\,\mathrm{d}x.
Para pequenas variações, aproximamos \Delta x\approx\mathrm{d}x e \Delta A=9{,}1-9=0{,}1. Assim,
\Delta x \approx \frac{\Delta A}{2x_0}.

Passo 4

Substituindo x_0=3 e \Delta A=0{,}1,
\Delta x \approx \frac{0{,}1}{2\cdot3} = \frac{0{,}1}{6} = 0{,}016666\ldots\text{ m}\approx0{,}0167\text{ m}.

Resposta

O lado aumenta aproximadamente 0{,}0167\text{ m}, isto é, cerca de 1{,}67\text{ cm}.

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