Determine as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
integral raizcos(z),sin^3(z),dz
O conteúdo aqui é técnica de substituição (u-substituição) e integral de potências. Vamos usar a substituição que simplifique a combinação de cos(z) e sin(z).

Passo 2

Escolhemos
u = cos(z),
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du = -sin(z),dz Longrightarrow sin(z),dz = -,du
Também escrevemos sin^3(z)=sin^2(z),sin(z) e usamos sin^2(z)=1-cos^2(z)=1-u^2. Então a integral vira
integral raizcos(z),sin^3(z),dz = integral u^tfrac12,(1-u^2),l(sin(z),dzr) = -integral u^tfrac12,(1-u^2),du

Passo 3

Expandindo o integrando em u:
-integral u^tfrac12(1-u^2),du = -integrall(u^tfrac12-u^tfrac52r),du = -integral u^tfrac12,du + integral u^tfrac52,du
Agora integramos potência a potência:
-integral u^tfrac12,du = -u^tfrac32tfrac32 = -23u^tfrac32,
integral u^tfrac52,du = u^tfrac72tfrac72 = 27u^tfrac72
Somando,
-23u^tfrac32 + 27u^tfrac72 + C

Passo 4

Voltando a variável original z com u=cos(z), obtemos
-23cos^tfrac32(z) ;+;27cos^tfrac72(z) + C

Resposta

integral raizcos(z),sin^3(z),dz = -23cos^tfrac32(z) + 27cos^tfrac72(z) + C

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