Determine dois vetores unitários (com módulo igual a 1 ), tangentes à curva dada pela função vetorial r(t)=(e^t, e^-t, t^2+1) no ponto P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r(t) = (e^t,,e^-t,,t^2+1)
e pede vetores unitários tangentes em P=(1,1,1).
Conteúdo: derivada de função vetorial para obter vetor tangente e normalização para módulo 1.

Passo 2

Primeiro achamos t0 tal que vec r(t0)=P. Das duas primeiras componentes:
e^t0=1implies t0=0,
e^-t0=1implies t0=0,
e na terceira: t0^2+1=1implies t0=0. Logo o ponto corresponde a t0=0.

Passo 3

Calculamos a derivada
vec r,'(t)=l(e^t,,-e^-t,,2tr)

Passo 4

Em t0=0 temos
vec r,'(0)=(1,,-1,,0)

Passo 5

O módulo de vec r,'(0) é
|,(1,-1,0)|=raiz1^2+(-1)^2+0^2=raiz2
Então um vetor unitário é
1raiz2(1,-1,0)=(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2,,0)
Como a reta tangente tem dois sentidos, o outro vetor unitário é o negativo.

Resposta

(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2,,0)
(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0)

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