Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
s^2(s^2+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me pediu é para encontrar a transformada inversa de Laplace da função s^2(s^2+3)^2. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma técnica utilizada para resolver equações diferenciais e transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace e tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa nos ajuda a voltar da representação no domínio da frequência para o domínio do tempo. A função que temos é s^2(s^2+3)^2. Vamos tentar simplificar essa expressão para algo que possamos reconhecer na tabela de transformadas inversas.

Passo 3

Observe que (s^2 + 3)^2 pode ser visto como (s^2 + (raiz3)^2)^2. Isso se assemelha à forma da transformada de Laplace de t sin(at), que é 2a s(s^2 + a^2)^2. Mas a nossa expressão tem um s^2 no numerador, então precisamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos reescrever a função dividindo o numerador:
s^2(s^2+3)^2 = (s^2 + 3) - 3(s^2+3)^2 = 1s^2 + 3 - 3(s^2+3)^2
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais simples.

Passo 5

Agora, vamos lembrar das transformadas inversas:
  1. L^-11s^2 + a^2 = sin(at)a
  2. L^-1s(s^2 + a^2)^2 = t sin(at)2
No nosso caso, a = raiz3.

Passo 6

Aplicando essas transformadas inversas:
  1. Para 1s^2 + 3:
L^-11s^2 + 3 = sin(raiz3, t)raiz3
  1. Para 3(s^2 + 3)^2:
L^-13(s^2 + 3)^2 = 3 cdot t sin(raiz3, t)2 = 3t sin(raiz3, t)2

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
L^-1s^2(s^2+3)^2 = sin(raiz3, t)raiz3 - 3t sin(raiz3, t)2

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função s^2(s^2+3)^2 é:
f(t) = sin(raiz3, t)raiz3 - 3t sin(raiz3, t)2

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