Use o método de substituição para determinar as seguintes integrais
integral e^te^t+5 d t

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral e^te^t+5,dt
e pede para usar o método de substituição. Essa técnica substitui uma expressão complicada por uma nova variável, de modo a transformar a integral num caso mais simples.

Passo 2

Repare que a derivada de e^t+5 em relação a t é exatamente e^t, que aparece no numerador. Então, fazemos a substituição
u = e^t + 5
Diferenciando, obtemos
du = e^t,dt

Passo 3

Com essa mudança, a integral original vira
integral e^te^t+5,dt = integral 1u,du

Passo 4

A integral de 1/u é um logaritmo natural. Logo,
integral 1u,du = lnlvert urvert + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t substituindo u = e^t+5. Como e^t+5>0 para todo t, podemos retirar as barras de valor absoluto:
lnl(e^t+5r) + C

Resposta

lnl(e^t+5r) + C

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