Determine dois vetores unitários que sejam simultaneamente ortogonais aos vetores u=(1,-1,1) e v=(0,4,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois vetores unitários que sejam ortogonais simultaneamente aos vetores u = (1, -1, 1) e v = (0, 4, 4). Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois vetores dados. A melhor forma de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de u e v é dado por:
u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 0 & 4 & 4
Vamos calcular isso:
u times v = i((-1)(4) - (1)(4)) - j((1)(4) - (1)(0)) + k((1)(4) - (-1)(0))
u times v = i(-4 - 4) - j(4 - 0) + k(4 - 0)
u times v = -8i - 4j + 4k
u times v = (-8, -4, 4)

Passo 3

Agora que temos o vetor w = (-8, -4, 4) que é perpendicular a u e v, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, vamos calcular o módulo de w:
|w| = raiz(-8)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz64 + 16 + 16 = raiz96 = 4raiz6
Para tornar w unitário, dividimos cada componente pelo seu módulo:
w1 = ( -84raiz6, -44raiz6, 44raiz6 ) = ( -2raiz6, -1raiz6, 1raiz6 )

Passo 4

Lembrando que se um vetor é perpendicular a u e v, seu oposto também será perpendicular. Então, o segundo vetor unitário é simplesmente o negativo de w1:
w2 = -w1 = ( 2raiz6, 1raiz6, -1raiz6 )

Resposta

Os dois vetores unitários que são simultaneamente ortogonais a u e v são:
w1 = ( -2raiz6, -1raiz6, 1raiz6 )
w2 = ( 2raiz6, 1raiz6, -1raiz6 )

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