Determine o valor de k de modo que o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1, k+1) seja pi3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores u = (1, -2, 1) e v = (-2, 1, k+1). O objetivo é encontrar o valor de k de modo que o ângulo entre esses dois vetores seja pi3. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores, que envolve o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

A fórmula para calcular o cosseno do ângulo theta entre dois vetores u e v é:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Neste caso, sabemos que theta = pi3, então cos(pi3) = 12.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(-2) + (-2)(1) + (1)(k+1) = -2 -2 + k +1 = k -3

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |u| e |v|.
Para u:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 +1 = raiz6
Para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (k+1)^2 = raiz4 +1 + (k+1)^2 = raiz5 + (k+1)^2

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
k-3raiz6 cdot raiz5 + (k+1)^2 = 12
Multiplicando ambos os lados por raiz6 cdot raiz5 + (k+1)^2:
k - 3 = raiz6 cdot raiz5 + (k+1)^22

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(k - 3)^2 = (raiz6 cdot raiz5 + (k+1)^22)^2
(k - 3)^2 = 6 cdot (5 + (k+1)^2)4
Simplificando:
4(k - 3)^2 = 6(5 + (k+1)^2)

Passo 7

Expandindo ambos os lados:
4(k^2 -6k +9) = 6(5 + k^2 +2k +1)
4k^2 -24k +36 = 6k^2 +12k +36

Passo 8

Leva tudo para um lado da equação:
4k^2 -24k +36 -6k^2 -12k -36 =0
-2k^2 -36k =0
Dividindo por -2:
k^2 +18k =0

Passo 9

Fatorando:
k(k +18) =0
Portanto, as soluções são:
k=0 ou k=-18

Resposta

Os valores de k que satisfazem a condição são k = 0 ou k = -18.

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