Determine o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores
e
. O objetivo é encontrar o valor de
de modo que o ângulo entre esses dois vetores seja
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores, que envolve o produto escalar e as magnitudes dos vetores.
Passo 2
A fórmula para calcular o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é:
Neste caso, sabemos que
, então
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do cosseno:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Passo 7
Expandindo ambos os lados:
Passo 8
Leva tudo para um lado da equação:
Dividindo por -2:
Passo 9
Fatorando:
Portanto, as soluções são:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
ou
.