Prove que:
sumk=1^+infty 2 k-13^k=1
Note que: 2 k-1=3 k-(k+1) Rightarrow
2 k-13^k=k3^k-1-k+13^k

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumk=1^+infty2k-13^k
converge para 1. O conteúdo que vamos usar é o método de somas parciais (série telescópica) e o cálculo de limite de soma parcial.

Passo 2

Usamos a identidade dada:
2k-1 = 3k - (k+1)
Dividindo por 3^k, obtemos
2k-13^k =3k3^k-k+13^k =k3^k-1-k+13^k

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumk=1^N2k-13^k =sumk=1^Nl(k3^k-1-k+13^kr)

Passo 4

Separamos em duas somas:
SN =sumk=1^Nk3^k-1 -sumk=1^Nk+13^k
Escrevendo alguns termos:
sumk=1^Nk3^k-1 = 13^0 + 23^1 + 33^2 + cdots + N3^N-1,
sumk=1^Nk+13^k = 23^1 + 33^2 + cdots + N+13^N
Quase todos os termos se cancelam presidindo telescopicamente.

Passo 5

Após o cancelamento, sobra
SN = 13^0 - N+13^N = 1 - N+13^N

Passo 6

Fazendo Ntoinfty, temos limNtoinftyN+13^N=0. Logo
sumk=1^+infty2k-13^k =limNtoinftySN =1-0 =1

Resposta

1

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