Prove o Teorema de Rolle. Além disso, forneça um exemplo de aplicação do teorema e um exemplo de que o teorema não vale se alguma das hipóteses falhar.
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema de Rolle que diz: “Seja
contínua em
, derivável em
e tal que
. Então existe
com
Para isso vamos usar dois resultados clássicos do cálculo: o Teorema do Valor Extremo e o Lema de Fermat sobre derivadas em extremos.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Extremo, como
é contínua em
, ela atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em pontos de
. Há dois casos:
1. Se
é constante em
, então para todo
vale
e já temos o que queremos.
2. Se
não é constante em
, então ou o máximo ou o mínimo de
ocorre em algum ponto interior
.
Passo 3
Suponha sem perda de generalidade que
atinge um máximo absoluto em
. Como
não é extremidade,
é um ponto interior de
.
Passo 4
Pelo Lema de Fermat, se
é derivável em
e
é ponto de máximo (ou mínimo) local, então
Isso conclui a prova: em ambos os casos (constante ou não), existe
com
.
Passo 5
Exemplo de aplicação:
Considere
Considere
Temos
,
é contínua em
e derivável em
. Pelo Teorema de Rolle existe
tal que
De fato,
satisfaz isso, pois
.
Passo 6
Contraexemplo quando falha a hipótese de derivabilidade:
Tome
Tome
Então
e
é contínua em
, mas não é derivável em
. Para
tem-se
, que nunca é zero. Logo não existe
com
. Isso mostra que, sem derivabilidade em todo o interior, o Teorema de Rolle pode falhar.
Resposta
Teorema de Rolle. Se
é contínua em
, derivável em
e
, então existe
com
Exemplo de aplicação.
em
dá
para
.
Contraexemplo sem derivabilidade.
em
falha derivabilidade em
e não há
com
.