Prove o Teorema de Rolle. Além disso, forneça um exemplo de aplicação do teorema e um exemplo de que o teorema não vale se alguma das hipóteses falhar.

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema de Rolle que diz: “Seja f contínua em [a,b], derivável em (a,b) e tal que f(a)=f(b). Então existe cin(a,b) com
f'(c)=0
Para isso vamos usar dois resultados clássicos do cálculo: o Teorema do Valor Extremo e o Lema de Fermat sobre derivadas em extremos.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Extremo, como f é contínua em [a,b], ela atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em pontos de [a,b]. Há dois casos:
1. Se f é constante em [a,b], então para todo xin(a,b) vale
f'(x)=0
e já temos o que queremos.
2. Se f não é constante em [a,b], então ou o máximo ou o mínimo de f ocorre em algum ponto interior cin(a,b).

Passo 3

Suponha sem perda de generalidade que f atinge um máximo absoluto em cin(a,b). Como c não é extremidade, c é um ponto interior de [a,b].

Passo 4

Pelo Lema de Fermat, se f é derivável em c e c é ponto de máximo (ou mínimo) local, então
f'(c)=0
Isso conclui a prova: em ambos os casos (constante ou não), existe cin(a,b) com f'(c)=0.

Passo 5

Exemplo de aplicação:
Considere
f(x)=sin(x), xin[0,pi]
Temos f(0)=0=f(pi), f é contínua em [0,pi] e derivável em (0,pi). Pelo Teorema de Rolle existe cin(0,pi) tal que
f'(c)=cos(c)=0
De fato, c=tfracpi2 satisfaz isso, pois cos(tfracpi2)=0.

Passo 6

Contraexemplo quando falha a hipótese de derivabilidade:
Tome
f(x)=|x|, xin[-1,1]
Então f(-1)=1=f(1) e f é contínua em [-1,1], mas não é derivável em x=0. Para xneq0 tem-se f'(x)=pm1, que nunca é zero. Logo não existe cin(-1,1) com f'(c)=0. Isso mostra que, sem derivabilidade em todo o interior, o Teorema de Rolle pode falhar.

Resposta

Teorema de Rolle. Se f é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe cin(a,b) com
f'(c)=0
Exemplo de aplicação. f(x)=sin(x) em [0,pi] f'(c)=cos(c)=0 para c=tfracpi2.
Contraexemplo sem derivabilidade. f(x)=|x| em [-1,1] falha derivabilidade em 0 e não há c com f'(c)=0.

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