Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.1)
.
(17.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{y - x^{2}} $ e representar esse domínio graficamente. O domínio de uma função são todos os pares
que tornam a função válida, ou seja, onde ela está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e descobrir quais valores de
e
fazem a função funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte $ \frac{1}{x^{2} - 1} $. Aqui, o denominador $ x^{2} - 1 $ não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos achar os valores de
que fazem $ x^{2} - 1 = 0 $.
Resolvendo:
Isso significa que
não pode ser igual a 1 nem a -1. Então,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte $ \sqrt{y - x^{2}} $. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Ou seja, o que está dentro da raiz, $ y - x^{2} $, precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos:
Isso nos diz que
tem que ser pelo menos igual a
.
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas condições que encontramos:
- $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $
- $ y \geq x^{2} $
Então, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares
onde
não é 1 nem -1, e
é maior ou igual a
.
Passo 5
Para representar graficamente o domínio, vamos pensar no plano
:
- A condição $ y \geq x^{2} $ representa a região acima da parábola $ y = x^{2} $.
- As restrições $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $ significam que a função não está definida nas linhas verticais $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Então, no gráfico, teremos toda a área acima da parábola $ y = x^{2} $, exceto as linhas verticais onde $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{y - x^{2}} $ é composto por todos os pares
tais que
,
e $ y \geq x^{2} $. Graficamente, isso corresponde à região acima da parábola $ y = x^{2} $, excluindo as linhas verticais $ x = 1 $ e $ x = -1 $.