Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:
(17.1) f(x, y)=1x^2-1+raizy-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{y - x^{2}} $ e representar esse domínio graficamente. O domínio de uma função são todos os pares f(x, y) = 1x^2 - 1 + raizy - x^2 que tornam a função válida, ou seja, onde ela está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e descobrir quais valores de (x, y) e x fazem a função funcionar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte $ \frac{1}{x^{2} - 1} $. Aqui, o denominador $ x^{2} - 1 $ não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos achar os valores de 1x^2 - 1 que fazem $ x^{2} - 1 = 0 $.
Resolvendo:
x^2 - 1
Isso significa que x não pode ser igual a 1 nem a -1. Então, x^2 - 1 = 0 e x^2 - 1 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1 .

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte $ \sqrt{y - x^{2}} $. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Ou seja, o que está dentro da raiz, $ y - x^{2} $, precisa ser maior ou igual a zero.
Então, temos:
raizy - x^2
Isso nos diz que y - x^2 tem que ser pelo menos igual a y - x^2 >= 0 implies y >= x^2 .

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas condições que encontramos:
  1. $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $
  2. $ y \geq x^{2} $
Então, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares x neq 1 onde x neq -1 não é 1 nem -1, e y >= x^2 é maior ou igual a f(x, y) .

Passo 5

Para representar graficamente o domínio, vamos pensar no plano xy:
  • A condição $ y \geq x^{2} $ representa a região acima da parábola $ y = x^{2} $.
  • As restrições $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $ significam que a função não está definida nas linhas verticais $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Então, no gráfico, teremos toda a área acima da parábola $ y = x^{2} $, exceto as linhas verticais onde $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} - 1} + \sqrt{y - x^{2}} $ é composto por todos os pares f(x, y) = 1x^2 - 1 + raizy - x^2 tais que (x, y), x neq 1 e $ y \geq x^{2} $. Graficamente, isso corresponde à região acima da parábola $ y = x^{2} $, excluindo as linhas verticais $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

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