Determine o domínio de cada uma das seguintes funçōes:
Passo 1
Beleza! O exercício pergunta para determinar o domínio da função $ f(t) = \sqrt{1 - t^{2}} + \sqrt{t^{2} - 1} $. Isso faz parte da matéria de funções, especificamente sobre onde a função está definida. Para resolver, precisamos lembrar que o que está dentro de uma raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo nos reais.
Passo 2
Vamos olhar para cada parte da função separadamente. Temos duas raízes quadradas: $ \sqrt{1 - t^{2}} $ e $ \sqrt{t^{2} - 1} $. Pra que a função inteira faça sentido, as duas expressões dentro das raízes têm que ser positivas ou iguais a zero ao mesmo tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar $ \sqrt{1 - t^{2}} $. A condição aqui é que $ 1 - t^{2} \geq 0 $. Isso significa que $ t^{2} \leq 1 $.
Passo 4
Resolvendo $ t^{2} \leq 1 $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados e temos que $ -1 \leq t \leq 1 $.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda raiz: $ \sqrt{t^{2} - 1} $. A condição aqui é que $ t^{2} - 1 \geq 0 $, ou seja, $ t^{2} \geq 1 $.
Passo 6
Resolvendo $ t^{2} \geq 1 $, tiramos a raiz quadrada e vemos que $ t \leq -1 $ ou $ t \geq 1 $.
Passo 7
Pra que a função $ f(t) $ esteja definida, as duas condições precisam acontecer ao mesmo tempo. Ou seja, temos que encontrar os valores de $ t $ que satisfazem $ -1 \leq t \leq 1 $ e $ t \leq -1 $ ou $ t \geq 1 $.
Passo 8
Vamos verificar as interseções:
- Entre $ -1 \leq t \leq 1 $ e $ t \leq -1 $, o único valor que funciona é $ t = -1 $.
- Entre $ -1 \leq t \leq 1 $ e $ t \geq 1 $, o único valor que funciona é $ t = 1 $.
Passo 9
Então, os únicos valores de $ t $ que deixam $ f(t) $ definida são $ t = -1 $ e $ t = 1 $.
Resposta
O domínio da função $ f(t) = \sqrt{1 - t^{2}} + \sqrt{t^{2} - 1} $ é $ { -1, 1 } $.