Determine o domínio de
. Calcule
e
.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o domínio da função vetorial
e calcular suas primeiras e segundas derivadas em relação ao tempo
. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como calcular derivadas de funções vetoriais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função
está definida, ou seja, para os quais todos os componentes da função possuem valor real.
Passo 3
A função
é dada por:
Vamos analisar cada componente:
-
: O termo está definido para todo número real . -
: A função tangente, , está definida exceto onde o cosseno de é zero, ou seja, em , onde é inteiro. -
: Este é um vetor constante e está sempre definido.
Passo 4
Com base nisso, o único componente que restringe o domínio de
é
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto aqueles onde
não está definida, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, que é denotada por
. Para funções vetoriais, a derivada é calculada derivando cada componente separadamente.
A derivada de
:
Passo 6
Vamos derivar cada termo:
-
-
, pois a derivada da tangente é o quadrado da secante. -
, já que a derivada de uma constante é zero.
Então, a primeira derivada fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, denotada por
. Isso significa derivar novamente a primeira derivada que encontramos.
A segunda derivada:
Passo 8
Derivando cada termo:
-
-
, usando a regra da cadeia, já que a derivada de é . -
Assim, a segunda derivada fica:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais exceto
, onde
é inteiro. As derivadas são:
e