Determine o domínio de F. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2.
F(t)=t^2 i+tan t j+3 k.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o domínio da função vetorial F(t) e calcular suas primeiras e segundas derivadas em relação ao tempo t. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como calcular derivadas de funções vetoriais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de t para os quais a função F(t) está definida, ou seja, para os quais todos os componentes da função possuem valor real.

Passo 3

A função F(t) é dada por:
F(t) = t^2 i + tan t j + 3 k
Vamos analisar cada componente:
  1. t^2 i: O termo t^2 está definido para todo número real t.
  2. tan t j: A função tangente, tan t, está definida exceto onde o cosseno de t é zero, ou seja, em t = pi2 + kpi, onde k é inteiro.
  3. 3 k: Este é um vetor constante e está sempre definido.

Passo 4

Com base nisso, o único componente que restringe o domínio de F(t) é tan t. Portanto, o domínio de F(t) é todos os números reais exceto aqueles onde tan t não está definida, ou seja:
D = R setminus pi2 + kpi ,|, k in Z

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada de F(t) em relação a t, que é denotada por dFdt. Para funções vetoriais, a derivada é calculada derivando cada componente separadamente.
A derivada de F(t):
dFdt = ddt(t^2) i + ddt(tan t) j + ddt(3) k

Passo 6

Vamos derivar cada termo:
  1. ddt(t^2) = 2t
  2. ddt(tan t) = sec^2 t, pois a derivada da tangente é o quadrado da secante.
  3. ddt(3) = 0, já que a derivada de uma constante é zero.
Então, a primeira derivada fica:
dFdt = 2t i + sec^2 t j + 0 k = 2t i + sec^2 t j

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada de F(t) em relação a t, denotada por d^2Fdt^2. Isso significa derivar novamente a primeira derivada que encontramos.
A segunda derivada:
d^2Fdt^2 = ddt(2t i) + ddt(sec^2 t) + ddt(0 k)

Passo 8

Derivando cada termo:
  1. ddt(2t) = 2
  2. ddt(sec^2 t) = 2sec^2 t tan t, usando a regra da cadeia, já que a derivada de sec t é sec t tan t.
  3. ddt(0) = 0
Assim, a segunda derivada fica:
d^2Fdt^2 = 2 i + 2sec^2 t tan t j

Resposta

O domínio de F(t) é todos os números reais exceto t = pi2 + kpi, onde k é inteiro. As derivadas são:
dFdt = 2t i + sec^2 t j
e
d^2Fdt^2 = 2 i + 2sec^2 t tan t j

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