Questão (4) (2pts) Considere a função abaixo
g(x)=cc -1(x+2)^3, & x neq-2 0, & x=-2
Responda os itens
(1 pt) Esboce o gráfico da função g(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)= -,1(x+2)^3,&xneq -2, 0,&x=-2,
e pede o esboço de g(x). Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas e comportamento assintótico para desenhar o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio de g e as assíntotas.
O denominador (x+2)^3 só se anula em x=-2, logo
domínio=R í
Em x=-2 há assíntota vertical. Como limxtopminftyg(x)=0, há também assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Estudar o comportamento perto de x=-2.
limxto -2^-g(x) =limhto0^-l(-1h^3r)=+infty,
pois h=x+2 é negativo e o cubo de número negativo é negativo, e o menos na frente inverte o sinal.
limxto -2^+g(x) =limhto0^+l(-1h^3r)=-infty

Passo 4

Analisar o comportamento em xtopminfty e o ponto removível em x=-2.
Para xto+infty ou xto-infty temos
g(x)=-1(x+2)^3to0,
vindo de baixo (negativo) quando xto+infty e de cima (positivo) quando xto-infty.
Em x=-2 definimos g(-2)=0, preenchendo o “buraco” no gráfico.

Passo 5

Esboçar cada ramo e marcar as assíntotas:
  1. Ramo à esquerda de -2: vai de (-infty,0^+) até o infinito positivo em xto -2^-, é crescente (pois g'(x)=3/(x+2)^4>0).
  2. Ramo à direita de -2: vai do infinito negativo em xto -2^+ até (+infty,0^-), também crescente.
  3. Assíntota vertical em x=-2 e horizontal em y=0.
  4. Pontinho em (-2,0) para indicar g(-2)=0.

Resposta

O gráfico de g(x) tem:
  • Assíntota vertical x=-2.
  • Assíntota horizontal y=0.
  • Para x<-2, a curva cresce de yapprox0^+ (quando xto-infty) até +infty (quando xto-2^-).
  • Para x>-2, a curva cresce de -infty (quando xto-2^+) até yapprox0^- (quando xto+infty).
  • Há um ponto preenchido em (-2,0).

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