Questão (4) (2pts) Considere a função abaixo
Responda os itens
(1 pt) Esboce o gráfico da função
g(x) .
(1 pt) Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede o esboço de
g(x) . Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas e comportamento assintótico para desenhar o gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio de
g e as assíntotas.
O denominador(x+2)^3 só se anula em
x=-2 , logo
O denominador
Em
x=-2 há assíntota vertical. Como
limxtopminftyg(x)=0 , há também assíntota horizontal em
y=0 .
Passo 3
Estudar o comportamento perto de
x=-2 .
pois
h=x+2 é negativo e o cubo de número negativo é negativo, e o menos na frente inverte o sinal.
Passo 4
Analisar o comportamento em
xtopminfty e o ponto removível em
x=-2 .
Paraxto+infty ou
xto-infty temos
Para
vindo de baixo (negativo) quando
xto+infty e de cima (positivo) quando
xto-infty .
Emx=-2 definimos
g(-2)=0 , preenchendo o “buraco” no gráfico.
Em
Passo 5
Esboçar cada ramo e marcar as assíntotas:
- Ramo à esquerda de
: vai de-2 até o infinito positivo em(-infty,0^+) , é crescente (poisxto -2^- ).g'(x)=3/(x+2)^4>0 - Ramo à direita de
: vai do infinito negativo em-2 atéxto -2^+ , também crescente.(+infty,0^-) - Assíntota vertical em
e horizontal emx=-2 .y=0 - Pontinho em
para indicar(-2,0) .g(-2)=0
Resposta
O gráfico de
g(x) tem:
- Assíntota vertical
.x=-2 - Assíntota horizontal
.y=0 - Para
, a curva cresce dex<-2 (quandoyapprox0^+ ) atéxto-infty (quando+infty ).xto-2^- - Para
, a curva cresce dex>-2 (quando-infty ) atéxto-2^+ (quandoyapprox0^- ).xto+infty - Há um ponto preenchido em
.(-2,0)