Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
h(x)=2^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=2^{-x} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de h.
  • Construir o gráfico de h e identificar como os gráficos das funções do mesmo tipo (funções exponenciais) se relacionam com este gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita da função é h(x)=2^{-x}.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar a propriedade básica das funções exponenciais. Para qualquer base positiva a>0 com a\neq1, a função x\mapsto a^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Aqui a base é 2>0. Portanto o domínio de h é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(h)=\mathbb{R}.

Passo 3

Escrever h de formas alternativas úteis (isso ajuda a entender o comportamento):
h(x)=2^{-x}=(2^{-1})^{x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{2^{x}}.
Essas igualdades vêm das leis dos expoentes: a^{-x}=(a^{-1})^{x} e a^{-x}=1/a^{x}.

Passo 4

Determinar a imagem (intervalo de valores): como 2^{x}>0 para todo x, segue que h(x)=1/2^{x}>0 para todo x. Além disso, 2^{x} pode ficar arbitrariamente grande, então 1/2^{x} pode ficar arbitrariamente pequeno e positivo, e também pode ficar arbitrariamente grande quando x\to -\infty. Portanto a imagem é:
\text{Im}(h)=(0,\infty).
Também há uma assíntota horizontal: conforme x\to+\infty, h(x)=2^{-x}\to 0, então y=0 é assíntota horizontal.

Passo 5

Monotonicidade (por que a função é decrescente): use uma argumentação sem derivada, fácil de controlar em prova. Tome x_1<x_2. Então -x_1>-x_2. Como 2^{t} é crescente em t, temos 2^{-x_1}>2^{-x_2}. Assim h(x_1)>h(x_2) sempre que x_1<x_2. Conclusão: h é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
(Se preferir ver com derivada: h'(x)=-\ln(2)\,2^{-x}<0 para todo x, confirmando decrescência, mas isso não é necessário se não se pede cálculo.)

Passo 6

Pontos importantes para desenhar o gráfico—calcule alguns valores simples (fáceis de fazer sem calculadora):
\begin{aligned} h(-2)&=2^{-(-2)}=2^{2}=4,\\\ h(-1)&=2^{-(-1)}=2^{1}=2,\\\ h(0)&=2^{0}=1,\\\ h(1)&=2^{-1}=\tfrac{1}{2},\\\ h(2)&=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. \end{aligned}
Coloque esses pontos no sistema de eixos: (-2,4),(-1,2),(0,1),(1,\tfrac{1}{2}),(2,\tfrac{1}{4}). Lembre-se da assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty e do crescimento para +\infty quando x\to-\infty.

Passo 7

Como esboçar o gráfico passo a passo na prova:
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota horizontal y=0 (linha pontilhada).
  3. Plote os pontos calculados em Passo 6.
  4. Una suavemente os pontos formando uma curva contínua e estritamente decrescente: à esquerda (para x negativo grande) a curva sobe rápido; à direita (para x positivo grande) a curva se aproxima de y=0.
  5. Marque o intercepto com o eixo y: h(0)=1. Não há intercepto com o eixo x porque a função nunca zera.

Passo 8

Como o gráfico de h(x)=2^{-x} se relaciona com outros gráficos exponenciais:
  • Observe que h(x)=2^{-x}=f(-x) onde f(x)=2^{x}. Ou seja, o gráfico de h é o gráfico de f(x)=2^{x} refletido em relação ao eixo y. Em palavras: trocar x por -x reflete o gráfico na vertical.
  • Além disso, h(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}. Então h é uma exponencial com base \tfrac{1}{2}\in(0,1); funções exponenciais com base maior que 1 são crescentes, e com base entre 0 e 1 são decrescentes. Portanto 2^{-x} pertence à família decrescente e é exatamente o mesmo gráfico de \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}.
  • Resumindo as relações úteis em prova:
    • Reflexão: 2^{-x} é a reflexão de 2^{x} em relação ao eixo y.
    • Equivalência: 2^{-x}=(1/2)^{x}, por isso compartilha todas as propriedades de uma base <1 (decresce, imagem (0,\infty), assíntota y=0).

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
  • Para esboçar qualquer exponencial, calcule alguns pontos inteiros (por exemplo x=-2,-1,0,1,2); isso já dá forma.
  • Olhe se a base é >1 (função crescente) ou 0<b<1 (função decrescente). Se aparecer a^{-x}, transforme para (a^{-1})^{x} para ver a base efetiva.
  • Sempre verifique a assíntota y=0 e se existe intercepto em y (sempre f(0)=1 para exponenciais do tipo a^{x}).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Relação com outras exponenciais: o gráfico de h(x)=2^{-x} é igual ao gráfico de \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} (função exponencial com base <1), e também é a reflexão do gráfico de 2^{x} em relação ao eixo y.

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