Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Construir o gráfico de
e identificar como os gráficos das funções do mesmo tipo (funções exponenciais) se relacionam com este gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita da função é
.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar a propriedade básica das funções exponenciais. Para qualquer base positiva
com
, a função
está definida para todo
. Aqui a base é
. Portanto o domínio de
é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Escrever
de formas alternativas úteis (isso ajuda a entender o comportamento):
Essas igualdades vêm das leis dos expoentes:
e
.
Passo 4
Determinar a imagem (intervalo de valores): como
para todo
, segue que
para todo
. Além disso,
pode ficar arbitrariamente grande, então
pode ficar arbitrariamente pequeno e positivo, e também pode ficar arbitrariamente grande quando
. Portanto a imagem é:
Também há uma assíntota horizontal: conforme
,
, então
é assíntota horizontal.
Passo 5
Monotonicidade (por que a função é decrescente): use uma argumentação sem derivada, fácil de controlar em prova. Tome
. Então
. Como
é crescente em
, temos
. Assim
sempre que
. Conclusão:
é estritamente decrescente em
.
(Se preferir ver com derivada:
para todo
, confirmando decrescência, mas isso não é necessário se não se pede cálculo.)
Passo 6
Pontos importantes para desenhar o gráfico—calcule alguns valores simples (fáceis de fazer sem calculadora):
Coloque esses pontos no sistema de eixos:
. Lembre-se da assíntota horizontal
quando
e do crescimento para
quando
.
Passo 7
Como esboçar o gráfico passo a passo na prova:
- Trace os eixos
e . - Marque a assíntota horizontal
(linha pontilhada). - Plote os pontos calculados em Passo 6.
- Una suavemente os pontos formando uma curva contínua e estritamente decrescente: à esquerda (para
negativo grande) a curva sobe rápido; à direita (para positivo grande) a curva se aproxima de . - Marque o intercepto com o eixo
: . Não há intercepto com o eixo porque a função nunca zera.
Passo 8
Como o gráfico de
se relaciona com outros gráficos exponenciais:
- Observe que
onde . Ou seja, o gráfico de é o gráfico de refletido em relação ao eixo . Em palavras: trocar por reflete o gráfico na vertical. - Além disso,
. Então é uma exponencial com base ; funções exponenciais com base maior que são crescentes, e com base entre e são decrescentes. Portanto pertence à família decrescente e é exatamente o mesmo gráfico de . - Resumindo as relações úteis em prova:
- Reflexão:
é a reflexão de em relação ao eixo . - Equivalência:
, por isso compartilha todas as propriedades de uma base (decresce, imagem , assíntota ).
- Reflexão:
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
- Para esboçar qualquer exponencial, calcule alguns pontos inteiros (por exemplo
); isso já dá forma. - Olhe se a base é
(função crescente) ou (função decrescente). Se aparecer , transforme para para ver a base efetiva. - Sempre verifique a assíntota
e se existe intercepto em (sempre para exponenciais do tipo ).
Resposta
Domínio:
Relação com outras exponenciais: o gráfico de é igual ao gráfico de
(função exponencial com base
), e também é a reflexão do gráfico de
em relação ao eixo
.
Relação com outras exponenciais: o gráfico de