Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
p(x)=2^{x}+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras sobre a função p(x)=2^{x}+1:
  • Determinar o domínio de p.
  • Construir (descrever) o gráfico de p e, em seguida, identificar como os gráficos de funções do mesmo tipo estão relacionados.
Informações dadas:
  • A única informação explícita é a fórmula da função: p(x)=2^{x}+1.

Passo 2

Entendendo a função básica 2^{x} (como mini-aula de base, bem devagarinho).
  • A função f(x)=2^{x} é definida para todo número real x. Ou seja, o domínio de f é \mathbb{R}.
  • Os valores de f são sempre positivos: f(x)>0 para todo x. Então a imagem (contradomínio efetivo) de f é (0,\infty).
  • Comportamento limite: quando x\to -\infty, 2^{x}\to 0^{+}; quando x\to+\infty, 2^{x}\to +\infty.
  • Pontos úteis da curva y=2^{x}:
    • f(0)=2^{0}=1.
    • f(1)=2^{1}=2.
    • f(-1)=2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0,5.
  • A reta y=0 é assíntota horizontal de y=2^{x} (a curva se aproxima de y=0 quando x\to -\infty sem nunca tocar).
  • Monotonicidade: f é estritamente crescente (porque se x_1<x_2 então 2^{x_1}<2^{x_2}). Uma maneira rápida de ver isso é que a derivada é positiva:
f'(x)=2^{x}\ln 2>0\\ \text{para todo }x.

Passo 3

Aplicando a ideia ao p(x)=2^{x}+1: domínio e imagem.
  • Domínio: como 2^{x} está definido para todo x\in\mathbb{R} e somar 1 não cria restrição, o domínio de p é
\text{Dom}(p)=\mathbb{R}.
  • Imagem (ou contradomínio efetivo): como 2^{x} produz valores em (0,\infty), ao somar 1 obtemos valores em (1,\infty). Logo
\text{Im}(p)=(1,\infty).
  • Limites/asíntotas: quando x\to -\infty, 2^{x}\to 0^{+} então p(x)=2^{x}+1\to 1^{+}. Assim a reta
y=1
é a assíntota horizontal de p.

Passo 4

Pontos importantes para desenhar sem calculadora (faça na prova: marque esses pontos e a assíntota).
Calcule valores simples:
  • p(0)=2^{0}+1=1+1=2. Ponto: (0,2).
  • p(1)=2^{1}+1=2+1=3. Ponto: (1,3).
  • p(-1)=2^{-1}+1=\tfrac{1}{2}+1=1,5. Ponto: (-1,1,5).
  • p(-2)=2^{-2}+1=\tfrac{1}{4}+1=1,25. Ponto: (-2,1,25).
  • p(2)=2^{2}+1=4+1=5. Ponto: (2,5).
Com esses pontos e sabendo que a curva é suave e estritamente crescente é suficiente para esboçar o gráfico.

Passo 5

Propriedades importantes a anotar no rascunho do gráfico:
  • A curva passa por (0,2) e (1,3) e aproxima-se de y=1 à esquerda.
  • Não existe intercepto com o eixo x porque resolver 2^{x}+1=0 2^{x}=-1, impossível. Logo nenhum ponto com y=0.
  • A curva é estritamente crescente e convexa para cima (curvatura típica de exponencial).
  • Assíntota horizontal: desenhar a reta pontilhada y=1 e a curva acima dela.

Passo 6

Como construir o gráfico passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os eixos e trace a assíntota horizontal y=1.
  2. Marque os pontos calculados: (-2,1,25), (-1,1,5), (0,2), (1,3), (2,5).
  3. Una suavemente os pontos com uma curva crescente que se aproxima de y=1 à esquerda e sobe rapidamente à direita.
  4. Verifique consistência: para grandes x a curva cresce rápido; para x negativos tende a 1 sem tocar.

Passo 7

Relação entre gráficos “do mesmo tipo” (ou seja, entre 2^{x} e 2^{x}+1, ou em geral 2^{x}+c).
  • Observação simples e poderosa: p(x)=2^{x}+1 é obtida a partir da função base f(x)=2^{x} por uma translação vertical de +1. Em fórmulas:
p(x)=f(x)+1 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{o gráfico de }p\text{ é o de }f\text{ deslocado 1 unidade para cima.}áé
  • Consequências dessa transformação:
    • A forma da curva (crescimento, convexidade) não muda.
    • A assíntota horizontal de f que era y=0 passa a ser y=1 em p.
    • O domínio permanece o mesmo; a imagem é a imagem de f deslocada em 1 unidade.
  • Regra geral: para qualquer constante c, o gráfico de x\mapsto 2^{x}+c é o gráfico de x\mapsto 2^{x} transladado verticalmente em c (para cima se c>0, para baixo se c<0).

Passo 8

Mais uma nota prática (ânimo!): se ficar em dúvida na prova, calcular três pontos bem escolhidos (por exemplo x=-1,0,1) e identificar a assíntota já dá um esboço correto e rápido. Lembre-se: shift vertical não muda zero relativo de crescimento — só desloca tudo.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: curva exponencial estritamente crescente que passa por (-2,1,25), (-1,1,5), (0,2), (1,3), com assíntota horizontal y=1 e imagem (1,\infty).
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de p(x)=2^{x}+1 é o gráfico de 2^{x} deslocado 1 unidade para cima (translação vertical de +1).

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