Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras sobre a função
:
- Determinar o domínio de
. - Construir (descrever) o gráfico de
e, em seguida, identificar como os gráficos de funções do mesmo tipo estão relacionados.
Informações dadas:
- A única informação explícita é a fórmula da função:
.
Passo 2
Entendendo a função básica
(como mini-aula de base, bem devagarinho).
- A função
é definida para todo número real . Ou seja, o domínio de é . - Os valores de
são sempre positivos: para todo . Então a imagem (contradomínio efetivo) de é . - Comportamento limite: quando
, ; quando , . - Pontos úteis da curva
: -
. -
. -
.
-
- A reta
é assíntota horizontal de (a curva se aproxima de quando sem nunca tocar). - Monotonicidade:
é estritamente crescente (porque se então ). Uma maneira rápida de ver isso é que a derivada é positiva:
Passo 3
Aplicando a ideia ao
: domínio e imagem.
- Domínio: como
está definido para todo e somar não cria restrição, o domínio de é
- Imagem (ou contradomínio efetivo): como
produz valores em , ao somar obtemos valores em . Logo
- Limites/asíntotas: quando
, então . Assim a reta
é a assíntota horizontal de
.
Passo 4
Pontos importantes para desenhar sem calculadora (faça na prova: marque esses pontos e a assíntota).
Calcule valores simples:
Calcule valores simples:
-
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: . -
. Ponto: .
Com esses pontos e sabendo que a curva é suave e estritamente crescente é suficiente para esboçar o gráfico.
Passo 5
Propriedades importantes a anotar no rascunho do gráfico:
- A curva passa por
e e aproxima-se de à esquerda. - Não existe intercepto com o eixo
porque resolver dá , impossível. Logo nenhum ponto com . - A curva é estritamente crescente e convexa para cima (curvatura típica de exponencial).
- Assíntota horizontal: desenhar a reta pontilhada
e a curva acima dela.
Passo 6
Como construir o gráfico passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe os eixos e trace a assíntota horizontal
. - Marque os pontos calculados:
, , , , . - Una suavemente os pontos com uma curva crescente que se aproxima de
à esquerda e sobe rapidamente à direita. - Verifique consistência: para grandes
a curva cresce rápido; para negativos tende a 1 sem tocar.
Passo 7
Relação entre gráficos “do mesmo tipo” (ou seja, entre
e
, ou em geral
).
- Observação simples e poderosa:
é obtida a partir da função base por uma translação vertical de . Em fórmulas:
- Consequências dessa transformação:
- A forma da curva (crescimento, convexidade) não muda.
- A assíntota horizontal de
que era passa a ser em . - O domínio permanece o mesmo; a imagem é a imagem de
deslocada em 1 unidade.
- Regra geral: para qualquer constante
, o gráfico de é o gráfico de transladado verticalmente em (para cima se , para baixo se ).
Passo 8
Mais uma nota prática (ânimo!): se ficar em dúvida na prova, calcular três pontos bem escolhidos (por exemplo
) e identificar a assíntota já dá um esboço correto e rápido. Lembre-se: shift vertical não muda zero relativo de crescimento — só desloca tudo.
Resposta
Domínio:
Gráfico: curva exponencial estritamente crescente que passa por ,
,
,
, com assíntota horizontal
e imagem
.
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de é o gráfico de
deslocado 1 unidade para cima (translação vertical de
).
Gráfico: curva exponencial estritamente crescente que passa por
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de