Represente geometricamente as funções abaixo. A seguir, determine o domínio e a imagem.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}3, \text { se } x \leq-1 \\\\ -2 x, \text { se }-1<x \leq 2 \\\ x-6, \text { se } x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 3, & \text{se } x\le -1,\\[4pt] -2x, & \text{se } -1<x\le 2,\\[4pt] x-6, & \text{se } x>2. \end{cases}
O que é pedido:
  • Representar geometricamente (descrever/riscar o gráfico) cada ramo da função e indicar pontos abertos/fechados nas fronteiras.
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há três ramos, com intervalos (-\infty,-1], (-1,2] e (2,\infty).
  • As fórmulas em cada ramo são 3, -2x e x-6, respectivamente.
  • As fronteiras importantes são os pontos x=-1 e x=2.]

Passo 2

Entender cada ramo separadamente (isso ajuda a desenhar e a achar a imagem).
  • Ramo 1: para x\le -1 temos f(x)=3. É uma reta horizontal (constante) com valor 3 para todos os x à esquerda de -1, inclusive em -1.
  • Ramo 2: para -1<x\le 2 temos f(x)=-2x. É uma reta (função linear) com coeficiente angular -2; ou seja, decrescente.
  • Ramo 3: para x>2 temos f(x)=x-6. É uma reta com coeficiente angular 1; ou seja, crescente, deslocada para baixo em 6.

Passo 3

Determinar o domínio.
Os intervalos das três peças são (-\infty,-1], (-1,2] e (2,\infty). A união desses intervalos é todo o conjunto dos números reais, porque cobrem todos os reais sem buracos:
(-\infty,-1]\cup(-1,2]\cup(2,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Portanto o domínio é \mathbb{R}.

Passo 4

Como desenhar geometricamente (descrição precisa, para que você consiga riscar no papel):
  • Ramo horizontal: desenhar a linha y=3 para todos os x\le -1. Em x=-1 colocar um ponto fechado em (-1,3) porque a condição inclui -1.
  • Ramo intermediário y=-2x em -1<x\le 2: para rabiscar pegue alguns pontos fáceis: \text{em }x=0\Rightarrow y=0;\qquad x=1\Rightarrow y=-2;\qquad x=2\Rightarrow y=-4.Em x=-1 a reta daria y=2, mas como x=-1 NÃO pertence a esse ramo (o ramo começa estritamente à direita de -1), em (-1,2] a ponta em x=-1 é um ponto aberto (-1,2). Em x=2 temos ponto fechado (2,-4) porque \le2 inclui 2.
  • Ramo direito y=x-6 para x>2: em x=3\Rightarrow y=-3, em x=4\Rightarrow y=-2, etc. Na fronteira x=2 a expressão daria -4, porém x=2 NÃO está incluído neste ramo (é x>2), então em (2,-4) colocamos ponto aberto; a partir de x imediatamente maior que 2 a reta cresce indefinidamente.
Resumo dos pontos na fronteira:
  • Em x=-1: existe ponto fechado em (-1,3) e existe também um ponto aberto em (-1,2) (da segunda peça). Isso mostra um salto entre y=3 (esquerda) e y=2 (direita).
  • Em x=2: existe ponto fechado (2,-4) vindo da segunda peça e um ponto aberto (2,-4) vindo da terceira peça; os valores coincidem em -4, então não há salto aí (continuidade pontual).

Passo 5

Encontrar a imagem (faça ramo a ramo e depois una os resultados).
  • Imagem do ramo 1 ( x\le -1, f(x)=3): este ramo só produz o valor 3. Então sua contribuição para a imagem é o conjunto \{3\}.
  • Imagem do ramo 2 ( -1<x\le 2, f(x)=-2x):
    • A função g(x)=-2x é linear e estritamente decrescente (coeficiente -2<0).
    • Quando x varia em (-1,2], os valores g(x) variam de perto de 2 (quando x\to-1^+, g(x)\to 2, mas como x=-1 NÃO está incluído esse valor 2 não é atingido) até g(2)=-4 (que é atingido porque x=2 pertence ao intervalo).
    • Logo a imagem deste ramo é o intervalo [-4,2). Aqui o -4 está incluído (provém de x=2) e 2 está excluído (só é o limite quando x\to-1^+).
  • Imagem do ramo 3 ( x>2, f(x)=x-6):
    • Para x>2 a função é crescente e quando x\to2^+ tem x-6\to -4 (não atingido porque x=2 não pertence ao ramo). À medida que x\to\infty, x-6\to\infty.
    • Portanto a imagem desse ramo é (-4,\infty).
Agora unir as contribuições:
\{3\}\\ \cup\\ [-4,2)\\ \cup\\ (-4,\infty).
Note que [-4,2)\cup(-4,\infty)=[-4,\infty) (o -4 está incluído pelo segundo ramo, e tudo acima de -4 está coberto pelo terceiro ramo). O valor 3 já está dentro de [-4,\infty), então a união final é
[-4,\infty).
Portanto a imagem de f é [-4,\infty).

Passo 6

Comentários úteis para a prova (dicas rápidas e como justificar no caderno):
  • Para o domínio: verifique se as condições das peças cobrem todos os reais e se há sobreposição ambígua. Aqui as desigualdades foram escritas de forma que não há lacuna nem ambiguidade.
  • Para a imagem de uma peça linear em intervalo fechado/aberto: calcule os valores nas extremidades e observe se a função é crescente ou decrescente para saber qual extremidade dá o máximo/minimo; então inclua/exclua endpoints conforme o intervalo de x.
  • Sobre continuidade nos pontos de fronteira:
    • Em x=-1, \lim_{x\to-1^-}f(x)=3 mas \lim_{x\to-1^+}f(x)=2, então há descontinuidade em salto.
    • Em x=2, \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=-4 e f(2)=-4, logo é contínua em x=2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-4,\infty)

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