Use translação para representar geometricamente as funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente, usando translações e escalas, a função
Informações dadas (explicitadas):
- A função é dada por
. - Devemos descrever a construção do gráfico a partir de transformações geométricas de uma função base (translações, reflexões, estiramentos).
- Não há figura fornecida; a representação será feita descrevendo as transformações e pontos/asíntotas importantes que permitem desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: escrever
de forma que fique clara a relação com a função base
. Fazendo manipulação algébrica simples:
Multiplica numerador e denominador por
(ou reescreve o denominador como
):
Agora divida
por
separando em parte inteira + fração:
então
Portanto a forma final útil é
Passo 3
Interpretação dessa forma: expressamos
como uma combinação de operações a partir da função base
. Vou lembrar (curtinho e amigável) o efeito das transformações elementares sobre o gráfico de
:
- Substituir
por desloca o gráfico horizontalmente para a direita em unidade. - Multiplicar a função por
, ou seja , estica o gráfico verticalmente por fator e reflete em relação ao eixo (por causa do sinal negativo). - Somar
(ou deslocar verticalmente para baixo ) move o gráfico para baixo 1 unidade.
Essas operações aplicadas em sequência sobre
vão transformar seu gráfico no gráfico de
.
Passo 4
Aplicando a primeira transformação (horizontal):
- Começar com
. - Fazer a substituição
para obter
Efeito: o gráfico de
desloca-se 1 unidade para a direita. Asíntotas passam de
e
para
e
. Alguns pontos característicos da base e suas imagens após essa translação:
- Ponto
de vai para em . - Ponto
vai para em .
Passo 5
Aplicando a segunda transformação (estiramento + reflexão vertical):
- Multiplicar
por :
Efeito: o gráfico é esticado verticalmente por fator
(valores de
multiplicados por
) e refletido em relação ao eixo
(sinal trocado).
- Asíntotas mantêm-se em
(vertical) e (horizontal), pois multiplicar por constante não altera as assíntotas verticais e multiplica a assíntota horizontal por essa constante (aqui permanece ). - Pontos anteriores transformam-se; por exemplo:
-
em vira em . -
em vira em .
-
Passo 6
Aplicando a terceira transformação (translação vertical):
- Somar
(ou deslocar para baixo 1) em :
Isso é exatamente
. Efeito: o gráfico é deslocado para baixo 1 unidade; a assíntota horizontal
passa para
. A assíntota vertical segue sendo
.
- Pontos transformados finalizados:
-
em passa para em . -
em passa para em .
Esses valores confirmam pontos concretos da função:, .
-
Passo 7
Características finais do gráfico (úteis para desenhar na prova):
- Fórmula final:
- Domínio:
(porque divisão por zero). - Assíntotas:
- Vertical:
(do termo ). - Horizontal:
(o termo constante ).
- Vertical:
- Interceptos:
- Intercepto
: solução de ⇒ ⇒ . Então passa por . - Intercepto
: . Então passa por .
- Intercepto
- Comportamento nos ramos:
- Para
: então e . Logo ramo à direita vai para próximo de . - Para
: e (approach pela cima: valores maiores que ). - Para
: então e . Logo próximo de o ramo esquerdo vai a . - Para
: e (aproximação pela esquerda: valores menores que ).
- Para
- Assim geometricamente: o gráfico é a hipérbola padrão de
deslocada 1 para a direita, esticada por 3 e refletida verticalmente, e então deslocada 1 para baixo. Um ramo (para ) vai de em e decresce para se aproximar de por cima; o outro ramo (para ) vem de por baixo quando e cai para ao se aproximar de .
Passo 8
Receita curta e prática (para desenhar rápido na prova):
- Desenhar a hipérbola
. - Deslocar 1 unidade para a direita →
. - Esticar verticalmente por fator
e refletir no eixo → . - Deslocar para baixo 1 →
.
Marcar as assíntotase e os pontos e para guiar o esboço.
Resposta
A partir de
: deslocar 1 unidade para a direita, depois esticar verticalmente por
e refletir em relação ao eixo
(multiplicar por
), e por fim deslocar 1 unidade para baixo. Equivalentemente,
com assíntotas
e
, interceptos em
e
.