Use translação para representar geometricamente as funções:
f(x)=\frac{x+2}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente, usando translações e escalas, a função f(x)=\frac{x+2}{1-x}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é dada por \displaystyle f(x)=\frac{x+2}{1-x}.
  • Devemos descrever a construção do gráfico a partir de transformações geométricas de uma função base (translações, reflexões, estiramentos).
  • Não há figura fornecida; a representação será feita descrevendo as transformações e pontos/asíntotas importantes que permitem desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever f(x) de forma que fique clara a relação com a função base \displaystyle \frac{1}{x}. Fazendo manipulação algébrica simples:
f(x)=\frac{x+2}{1-x}.
Multiplica numerador e denominador por -1 (ou reescreve o denominador como -(x-1)):
f(x)=-\frac{x+2}{x-1}.
Agora divida (x+2) por (x-1) separando em parte inteira + fração:
x+2=(x-1)+3,
então
-\frac{x+2}{x-1}=-\frac{(x-1)+3}{x-1}=-\Big(1+\frac{3}{x-1}\Big)=-1-\frac{3}{x-1}.
Portanto a forma final útil é
\boxed{\,f(x)=-1-\dfrac{3}{x-1}\, }.

Passo 3

Interpretação dessa forma: expressamos f como uma combinação de operações a partir da função base y=\dfrac{1}{x}. Vou lembrar (curtinho e amigável) o efeito das transformações elementares sobre o gráfico de y=\dfrac{1}{x}:
  • Substituir x por x-1 desloca o gráfico horizontalmente para a direita em 1 unidade.
  • Multiplicar a função por -3, ou seja y\mapsto -3y, estica o gráfico verticalmente por fator 3 e reflete em relação ao eixo x (por causa do sinal negativo).
  • Somar -1 (ou deslocar verticalmente para baixo 1) move o gráfico para baixo 1 unidade.
Essas operações aplicadas em sequência sobre y=\dfrac{1}{x} vão transformar seu gráfico no gráfico de f.

Passo 4

Aplicando a primeira transformação (horizontal):
  • Começar com y=\dfrac{1}{x}.
  • Fazer a substituição x\mapsto x-1 para obter
y_1=\frac{1}{x-1}.
Efeito: o gráfico de y=\dfrac{1}{x} desloca-se 1 unidade para a direita. Asíntotas passam de x=0 e y=0 para x=1 e y=0. Alguns pontos característicos da base e suas imagens após essa translação:
  • Ponto (1,1) de y=\dfrac{1}{x} vai para (2,1) em y_1.
  • Ponto (-1,-1) vai para (0,-1) em y_1.

Passo 5

Aplicando a segunda transformação (estiramento + reflexão vertical):
  • Multiplicar y_1 por -3:
y_2=-3\cdot\frac{1}{x-1}=-\frac{3}{x-1}.
Efeito: o gráfico é esticado verticalmente por fator 3 (valores de y multiplicados por 3) e refletido em relação ao eixo x (sinal trocado).
  • Asíntotas mantêm-se em x=1 (vertical) e y=0 (horizontal), pois multiplicar por constante não altera as assíntotas verticais e multiplica a assíntota horizontal por essa constante (aqui 0 permanece 0).
  • Pontos anteriores transformam-se; por exemplo:
    • (2,1) em y_1 vira (2,-3) em y_2.
    • (0,-1) em y_1 vira (0,3) em y_2.

Passo 6

Aplicando a terceira transformação (translação vertical):
  • Somar -1 (ou deslocar para baixo 1) em y_2:
y_3=-1-\frac{3}{x-1}.
Isso é exatamente f(x). Efeito: o gráfico é deslocado para baixo 1 unidade; a assíntota horizontal y=0 passa para y=-1. A assíntota vertical segue sendo x=1.
  • Pontos transformados finalizados:
    • (2,-3) em y_2 passa para (2,-4) em f.
    • (0,3) em y_2 passa para (0,2) em f.
      Esses valores confirmam pontos concretos da função: f(2)=-4, f(0)=2.

Passo 7

Características finais do gráfico (úteis para desenhar na prova):
  • Fórmula final: \displaystyle f(x)=-1-\frac{3}{x-1}.
  • Domínio: x\neq 1 (porque divisão por zero).
  • Assíntotas:
    • Vertical: x=1 (do termo \dfrac{1}{x-1}).
    • Horizontal: y=-1 (o termo constante -1).
  • Interceptos:
    • Intercepto x: solução de f(x)=0 \dfrac{x+2}{1-x}=0 x=-2. Então passa por (-2,0).
    • Intercepto y: f(0)=\dfrac{2}{1}=2. Então passa por (0,2).
  • Comportamento nos ramos:
    • Para x\to1^+: \dfrac{3}{x-1}\to +\infty então -\dfrac{3}{x-1}\to -\infty e f(x)=-1-\dfrac{3}{x-1}\to +\infty. Logo ramo à direita vai para +\infty próximo de x=1^+.
    • Para x\to+\infty: -\dfrac{3}{x-1}\to 0^- e f(x)\to -1^+ (approach pela cima: valores maiores que -1).
    • Para x\to1^-: \dfrac{3}{x-1}\to -\infty então -\dfrac{3}{x-1}\to +\infty e f(x)\to -\infty. Logo próximo de x=1^- o ramo esquerdo vai a -\infty.
    • Para x\to -\infty: -\dfrac{3}{x-1}\to 0^+ e f(x)\to -1^- (aproximação pela esquerda: valores menores que -1).
  • Assim geometricamente: o gráfico é a hipérbola padrão de y=\dfrac{1}{x} deslocada 1 para a direita, esticada por 3 e refletida verticalmente, e então deslocada 1 para baixo. Um ramo (para x>1) vai de +\infty em x\to1^+ e decresce para se aproximar de y=-1 por cima; o outro ramo (para x<1) vem de -1 por baixo quando x\to-\infty e cai para -\infty ao se aproximar de x\to1^-.

Passo 8

Receita curta e prática (para desenhar rápido na prova):
  1. Desenhar a hipérbola y=\dfrac{1}{x}.
  2. Deslocar 1 unidade para a direita → y=\dfrac{1}{x-1}.
  3. Esticar verticalmente por fator 3 e refletir no eixo x y=-\dfrac{3}{x-1}.
  4. Deslocar para baixo 1 → y=-1-\dfrac{3}{x-1}=f(x).
    Marcar as assíntotas x=1 e y=-1 e os pontos (-2,0) e (0,2) para guiar o esboço.

Resposta

A partir de y=\dfrac{1}{x}: deslocar 1 unidade para a direita, depois esticar verticalmente por 3 e refletir em relação ao eixo x (multiplicar por -3), e por fim deslocar 1 unidade para baixo. Equivalentemente,
f(x)=-1-\frac{3}{x-1},
com assíntotas x=1 e y=-1, interceptos em (-2,0) e (0,2).

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