Determine a função f(x) de primeiro grau que satisfaz f(1)=1 e f(-1)=-7.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função de primeiro grau f(x) que satisfaz duas condições:
  • f(1)=1.
  • f(-1)=-7.
As informações relevantes dadas são exatamente essas duas igualdades; a função procurada é uma função afim (primeiro grau) determinada por dois parâmetros que podemos achar usando essas condições.

Passo 2

Uma função de primeiro grau (função afim) tem a forma geral
f(x)=ax+b,
onde:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação ou “declive” da reta), que indica quanto f(x) varia quando x aumenta em 1;
  • b é o coeficiente linear (o intercepto em y), que é o valor de f(x) quando x=0.
Nosso objetivo é encontrar os números \,a e \,b que fazem essa função passar pelos pontos dados.

Passo 3

Substitui cada condição na forma geral para obter um sistema de equações em a e b.
Da condição f(1)=1 obtemos
a\cdot 1 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad a + b = 1.
Da condição f(-1)=-7 obtemos
a\cdot(-1) + b = -7 \quad\Rightarrow\quad -a + b = -7.
Portanto o sistema é
\begin{cases} a + b = 1,\\[4pt] - a + b = -7. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Uma forma simples é subtrair a segunda equação da primeira para eliminar b.
Calcule:
(a+b)-(-a+b)=1-(-7).
No lado esquerdo:
a+b+ a - b = 2a.
No lado direito:
1-(-7)=1+7=8.
Logo
2a = 8 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{8}{2}=4.

Passo 5

Agora achamos b substituindo a=4 em uma das equações do sistema, por exemplo em a+b=1:
4 + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 1-4 = -3.

Passo 6

Com a=4 e b=-3 a função procurada é
f(x)=4x-3.
Vamos checar rapidamente com a outra condição:
f(-1)=4\cdot(-1)-3=-4-3=-7,
que coincide com a condição f(-1)=-7. Tudo certo!

Resposta

f(x)=4x-3

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