Represente geometricamente as funções abaixo. A seguir, determine o domínio e a imagem.
f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2+|x-1|, \text { se } x \leq 3 \\\\ 1, \text { se } 3<x<5 \\\\ 2 x-5, \text { se } 5 \leq x<8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Representar geometricamente a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} -2+|x-1|, & \text{se } x\le 3,\\[4pt] 1, & \text{se } 3<x<5,\\[4pt] 2x-5, & \text{se } 5\le x<8, \end{cases}
  • Determinar o domínio e a imagem de f.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Há três ramos da função, com critérios de validade em termos de x: \,x\le 3\,,\;3<x<5\,,\;5\le x<8.
  • O primeiro ramo usa valor absoluto: -2+|x-1|.
  • O segundo ramo é constante: 1.
  • O terceiro ramo é linear: 2x-5.
  • Não há definição de f para x\ge 8 nem para x entre 3 e 5 nas extremidades (os extremos em 3 e 5 são tratados por inclusão/exclusão dadas nas partes).]

Passo 2

Entender o termo com valor absoluto e reescrever o primeiro ramo como retas: lembrar que, por definição,
|x-1|=\begin{cases} 1-x, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] x-1, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Como o primeiro ramo vale apenas para x\le 3, precisamos considerar nele os subcasos x\le 1 e 1\le x\le 3. Substituindo em -2+|x-1| obtemos duas retas:
  • Para x\le 1:
f(x)=-2+(1-x)=-1-x.
Isto é uma reta de coeficiente angular -1 (declive -1).
  • Para 1\le x\le 3:
f(x)=-2+(x-1)=x-3.
Isto é uma reta de coeficiente angular +1.
Observação importante: em x=1 ambas as expressões dão o mesmo valor, então o ponto é bem definido.]

Passo 3

Calcular valores-chave e comportamento das retas do primeiro ramo:
  • Em x=1:
f(1)=-2+|1-1|=-2+0=-2.
  • Para a reta f(x)=-1-x com x\le 1: quando x tende a -\infty tem-se f(x)\to+\infty. Quando x cresce até 1, f(x) diminui até -2. Portanto o intervalo de valores dessa subparte é [ -2,\infty) (observe que -2 é atingido em x=1 e todos os valores maiores aparecem para x<1).
  • Para a reta f(x)=x-3 com 1\le x\le 3: em x=1 tem f(1)=-2 e em x=3 tem
f(3)=3-3=0.
Portanto essa subparte toma valores em [-2,0].
Conclusão parcial: o primeiro ramo (todo ele para x\le 3) já fornece valores que cobrem [-2,\infty) (porque a porção x\le1 já dá todos os y\ge -2). Anote: o valor em x=3 (pertencente ao primeiro ramo) é f(3)=0.

Passo 4

Descrever geometricamente como desenhar o primeiro ramo (passo-a-passo prático para rascunho):
  • Desenhe o ponto (1,-2) (é o vértice do valor absoluto quando intersectado com o ajuste -2).
  • Para x\le 1 desenhe a reta de declive -1 passando por (1,-2); estenda essa reta para a esquerda (vai subindo em y quando x vai para -\infty).
  • Para 1\le x\le 3 desenhe a reta de declive +1 passando por (1,-2) até o ponto (3,0). No ponto (3,0) coloque um ponto sólido (porque x=3 pertence ao primeiro ramo).
    Assim o primeiro ramo forma um “V” truncado pela direita até x=3 (mas a asa esquerda do V vai até -\infty).

Passo 5

Tratar o segundo ramo ( 3<x<5):
  • É a constante f(x)=1 para 3<x<5. Geometricamente é um segmento horizontal à altura y=1, com finalidades abertas nos extremos porque as desigualdades são estritas.
  • Portanto no gráfico há uma linha horizontal entre x=3 e x=5 mas com círculos abertos em (3,1) e (5,1). Observe que em x=3 não usamos esse valor porque f(3) foi definido pelo primeiro ramo (que deu 0), então em x=3 temos um ponto sólido em (3,0) e um círculo aberto em (3,1).

Passo 6

Tratar o terceiro ramo ( 5\le x<8):
  • A expressão é f(x)=2x-5, uma reta de declive 2.
  • Calcule pontos bons para plotar:
f(5)=2\cdot5-5=5, \qquad f(6)=2\cdot6-5=7, \qquad f(7)=2\cdot7-5=9.
  • Em x=5 o ramo inclui o ponto (5,5) (ponto sólido). Em x\to 8^{-} tem-se f(x)\to 2\cdot8-5=11, mas x=8 não pertence ao domínio, então o ponto (8,11) fica aberto.
  • Geometricamente, desenhe a reta de declive 2 começando em (5,5) (ponto fechado) e terminando antes de (8,11) (ponto aberto).

Passo 7

Juntando tudo no gráfico (instruções práticas para rabiscar rápido):
  • Eixos x,y.
  • Primeiro ramo: “V” com vértice (1,-2), asa direita até o ponto fechado (3,0), asa esquerda indo para -\infty.
  • Em (3,0) coloque ponto sólido.
  • Horizontal entre x=3 e x=5 à altura y=1 com círculos abertos em (3,1) e (5,1).
  • No x=5 coloque ponto sólido em (5,5) e continue com reta de declive 2 até perto de x=8, terminando em um círculo aberto em (8,11).
  • Pontos de destaque (para marcar no esboço): (1,-2), (3,0) (sólido), (3,1) (aberto), (5,1) (aberto), (5,5) (sólido), aproximação (8,11) (aberto).

Passo 8

Analisar domínio de f:
  • Primeiro ramo cobre todos x tais que x\le 3.
  • Segundo ramo cobre 3<x<5.
  • Terceiro ramo cobre 5\le x<8.
    Unindo esses intervalos temos todos os x<8, ou seja o domínio é
(-\infty,8).
Observação: x=8 não pertence porque o terceiro ramo exige x<8; não há definição para x\ge 8.

Passo 9

Analisar imagem (conjunto de valores y que f assume):
  • Do primeiro ramo (analisado em Passo 3): a porção x\le 1 dá valores [ -2,\infty) (pois f(x)=-1-x com x\le1 tende a +\infty quando x\to-\infty e atinge -2 em x=1). A porção 1\le x\le3 dá valores [-2,0]. Portanto o primeiro ramo já garante todos os valores y\ge -2.
  • O segundo ramo produz apenas y=1, que já está contido em [ -2,\infty).
  • O terceiro ramo produz y em [5,11), que também está contido em [ -2,\infty).
União dos valores das três partes é simplesmente
[-2,\infty).
Explicação simples: o menor valor que f atinge é -2 (em x=1); não existe teto superior, pois para x\to -\infty na expressão f(x)=-1-x obtemos valores arbitrariamente grandes. Logo a imagem é [ -2,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,8)
Imagem: [ -2,\infty)

Exercícios relacionados