Represente geometricamente as funções abaixo. A seguir, determine o domínio e a imagem. f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2+|x-1|, \text { se } x \leq 3 \\\\ 1, \text { se } 3<x<5 \\\\ 2 x-5, \text { se } 5 \leq x<8\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Representar geometricamente a função definida por partes
Como o primeiro ramo vale apenas para x\le 3, precisamos considerar nele os subcasos x\le 1 e 1\le x\le 3. Substituindo em -2+|x-1| obtemos duas retas:
Para x\le 1:
f(x)=-2+(1-x)=-1-x.
Isto é uma reta de coeficiente angular -1 (declive -1).
Para 1\le x\le 3:
f(x)=-2+(x-1)=x-3.
Isto é uma reta de coeficiente angular +1.
Observação importante: em x=1 ambas as expressões dão o mesmo valor, então o ponto é bem definido.]
Passo 3
Calcular valores-chave e comportamento das retas do primeiro ramo:
Em x=1:
f(1)=-2+|1-1|=-2+0=-2.
Para a reta f(x)=-1-x com x\le 1: quando x tende a -\infty tem-se f(x)\to+\infty. Quando x cresce até 1, f(x) diminui até -2. Portanto o intervalo de valores dessa subparte é [ -2,\infty) (observe que -2 é atingido em x=1 e todos os valores maiores aparecem para x<1).
Para a reta f(x)=x-3 com 1\le x\le 3: em x=1 tem f(1)=-2 e em x=3 tem
f(3)=3-3=0.
Portanto essa subparte toma valores em [-2,0].
Conclusão parcial: o primeiro ramo (todo ele para x\le 3) já fornece valores que cobrem [-2,\infty) (porque a porção x\le1 já dá todos os y\ge -2). Anote: o valor em x=3 (pertencente ao primeiro ramo) é f(3)=0.
Passo 4
Descrever geometricamente como desenhar o primeiro ramo (passo-a-passo prático para rascunho):
Desenhe o ponto (1,-2) (é o vértice do valor absoluto quando intersectado com o ajuste -2).
Para x\le 1 desenhe a reta de declive -1 passando por (1,-2); estenda essa reta para a esquerda (vai subindo em y quando x vai para -\infty).
Para 1\le x\le 3 desenhe a reta de declive +1 passando por (1,-2) até o ponto (3,0). No ponto (3,0) coloque um ponto sólido (porque x=3 pertence ao primeiro ramo).
Assim o primeiro ramo forma um “V” truncado pela direita até x=3 (mas a asa esquerda do V vai até -\infty).
Passo 5
Tratar o segundo ramo (3<x<5):
É a constante f(x)=1 para 3<x<5. Geometricamente é um segmento horizontal à altura y=1, com finalidades abertas nos extremos porque as desigualdades são estritas.
Portanto no gráfico há uma linha horizontal entre x=3 e x=5 mas com círculos abertos em (3,1) e (5,1). Observe que em x=3 não usamos esse valor porque f(3) foi definido pelo primeiro ramo (que deu 0), então em x=3 temos um ponto sólido em (3,0) e um círculo aberto em (3,1).
Em x=5 o ramo inclui o ponto (5,5) (ponto sólido). Em x\to 8^{-} tem-se f(x)\to 2\cdot8-5=11, mas x=8 não pertence ao domínio, então o ponto (8,11) fica aberto.
Geometricamente, desenhe a reta de declive 2 começando em (5,5) (ponto fechado) e terminando antes de (8,11) (ponto aberto).
Passo 7
Juntando tudo no gráfico (instruções práticas para rabiscar rápido):
Eixos x,y.
Primeiro ramo: “V” com vértice (1,-2), asa direita até o ponto fechado (3,0), asa esquerda indo para -\infty.
Em (3,0) coloque ponto sólido.
Horizontal entre x=3 e x=5 à altura y=1 com círculos abertos em (3,1) e (5,1).
No x=5 coloque ponto sólido em (5,5) e continue com reta de declive 2 até perto de x=8, terminando em um círculo aberto em (8,11).
Pontos de destaque (para marcar no esboço): (1,-2), (3,0) (sólido), (3,1) (aberto), (5,1) (aberto), (5,5) (sólido), aproximação (8,11) (aberto).
Passo 8
Analisar domínio de f:
Primeiro ramo cobre todos x tais que x\le 3.
Segundo ramo cobre 3<x<5.
Terceiro ramo cobre 5\le x<8.
Unindo esses intervalos temos todos os x<8, ou seja o domínio é
(-\infty,8).
Observação: x=8 não pertence porque o terceiro ramo exige x<8; não há definição para x\ge 8.
Passo 9
Analisar imagem (conjunto de valores y que f assume):
Do primeiro ramo (analisado em Passo 3): a porção x\le 1 dá valores [ -2,\infty) (pois f(x)=-1-x com x\le1 tende a +\infty quando x\to-\infty e atinge -2 em x=1). A porção 1\le x\le3 dá valores [-2,0]. Portanto o primeiro ramo já garante todos os valores y\ge -2.
O segundo ramo produz apenas y=1, que já está contido em [ -2,\infty).
O terceiro ramo produz y em [5,11), que também está contido em [ -2,\infty).
União dos valores das três partes é simplesmente
[-2,\infty).
Explicação simples: o menor valor que f atinge é -2 (em x=1); não existe teto superior, pois para x\to -\infty na expressão f(x)=-1-x obtemos valores arbitrariamente grandes. Logo a imagem é [ -2,\infty).