Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
p(x)=6-(x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função p(x)=6-(x-1)^{2} e pede:
  • Determinar o domínio de p.
  • Construir (esboçar) o gráfico de p.
  • Identificar como o gráfico de p se relaciona com gráficos de funções do mesmo tipo (isto é, como se obtém esse gráfico a partir da parábola base).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita da função é p(x)=6-(x-1)^{2}.

Passo 2

Domínio: explicar o que pode dar problema numa função.
Para decidir o domínio, pergunto: existe algum x que torne a expressão inválida (divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.)? Aqui a expressão é um polinômio composto por potências e subtração, e não há raiz nem divisão por variável. Logo todos os números reais são permitidos.
Portanto o domínio é \displaystyle (-\infty,\infty).

Passo 3

Reescrever a função numa forma que destaque o vértice.
Faço uma pequena reorganização algébrica para deixar explícito o coeficiente que multiplica o quadrado:
p(x)=6-(x-1)^{2} = -\,(x-1)^{2}+6.
Agora compare com a forma de vértice geral de uma parábola:
\text{forma de vértice: }\; a(x-h)^{2}+k,é
onde:
  • a controla a abertura (se a>0 abre para cima; se a<0 abre para baixo) e o “estreitamento”;
  • (h,k) é o vértice da parábola (ponto de máximo ou mínimo).
No nosso caso:
a=-1,\qquad h=1,\qquad k=6.

Passo 4

Determinar vértice e eixo de simetria.
Pela forma de vértice a(x-h)^{2}+k, o vértice é (h,k). Assim o vértice de p é
(1,6).
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
x=1.

Passo 5

Determinar direção da abertura e máximo/mínimo; obter imagem (range).
Como a=-1<0, a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um ponto de máximo. O valor máximo de p é a ordenada do vértice, 6. Como a parábola segue para baixo indefinidamente, a imagem (conjunto de valores possíveis) é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\le 6\}=\left(-\infty,6\right].

Passo 6

Calcular intercepto com o eixo y (ordenada na origem).
Avalio p(0):
p(0)=6-(0-1)^{2}=6-1=5.
Logo o intercepto com o eixo y é o ponto (0,5).

Passo 7

Calcular interceptos com o eixo x (raízes).
Resolvo p(x)=0:
6-(x-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}=6.
Tirando raiz:
x-1=\pm\sqrt{6}\quad\Rightarrow\quad x=1\pm\sqrt{6}.
Portanto os dois pontos onde a parábola corta o eixo x são
\bigl(1-\sqrt{6},\,0\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(1+\sqrt{6},\,0\bigr).
Como referência numérica, \sqrt{6}\approx 2,449, então aproximadamente x\approx -1,449 e x\approx 3,449.

Passo 8

Obter pontos simétricos úteis para o esboço.
Como a parábola é simétrica em x=1, pontos à mesma distância de x=1 têm mesma ordenada. Já calculei p(0)=5; então à direita simétrica x=2 tenho
p(2)=6-(2-1)^{2}=6-1=5,
portanto (2,5) é simétrico de (0,5). Calculo também pontos a distância 2 de x=1: x=-1 e x=3,
p(-1)=6-(-1-1)^{2}=6-4=2,\qquad p(3)=6-(3-1)^{2}=6-4=2.
Esses pontos ajudam a dar a forma correta ao desenhar.

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (1,6) e trace a reta vertical x=1 como eixo de simetria (linha tracejada).
  3. Marque os interceptos já calculados: (0,5) e (2,5) (pontos simétricos) e as raízes \bigl(1\pm\sqrt{6},0\bigr).
  4. Marque também (-1,2) e (3,2) (ou os pontos (0,5),(2,5) e (3,2),(-1,2) para ajudar).
  5. Desenhe uma curva suave passando pelo vértice, pelos pontos marcados e abrindo para baixo (forma de “U” invertido). Verifique simetria: cada ponto à esquerda de x=1 tem correspondente à direita com mesma ordenada.

Passo 10

Identificar como o gráfico se relaciona com a parábola base f(x)=x^{2}.
Escrevendo p(x) em termos de transformações sobre f(x)=x^{2}:
p(x)=6-(x-1)^{2}= -\,(x-1)^{2}+6.
Aplicando transformações na ordem conveniente sobre o gráfico de f(x)=x^{2}:
  1. Translação horizontal para a direita de 1 unidade: x^{2}\mapsto (x-1)^{2} (vértice passa de (0,0) para (1,0)).
  2. Reflexão em relação ao eixo x: (x-1)^{2}\mapsto -(x-1)^{2} (abre para baixo).
  3. Translação vertical para cima de 6 unidades: -(x-1)^{2}\mapsto -(x-1)^{2}+6 (vértice sobe de (1,0) para (1,6)).
Resumo da relação: o gráfico de p é a parábola padrão y=x^{2} deslocada para a direita 1, refletida verticalmente (abre para baixo) e deslocada para cima 6.

Passo 11

Recapitulando as propriedades importantes (para checar no esboço):
  • Domínio: \displaystyle (-\infty,\infty).
  • Vértice: (1,6).
  • Eixo de simetria: x=1.
  • Abertura: para baixo (coeficiente a=-1).
  • Imagem (range): \left(-\infty,6\right].
  • Intercepto com y: (0,5).
  • Interceptos com x: \left(1-\sqrt{6},0\right) e \left(1+\sqrt{6},0\right).
  • Transformações em relação a y=x^{2}: translação para a direita 1, reflexão vertical, translação para cima 6.

Resposta

Domínio: \displaystyle (-\infty,\infty)
Imagem (range): \displaystyle \left(-\infty,6\right]
Vértice: (1,6)
Eixo de simetria: x=1
Abertura: para baixo (coeficiente a=-1)
Intercepto com y: (0,5)
Interceptos com x: \bigl(1-\sqrt{6},0\bigr) e \bigl(1+\sqrt{6},0\bigr)
Relação com a parábola base y=x^{2}: deslocar para a direita 1, refletir em x-axis (multiplicar por -1), e deslocar para cima 6.

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