Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Determinar o domínio de
. - Construir (esboçar) o gráfico de
. - Identificar como o gráfico de
se relaciona com gráficos de funções do mesmo tipo (isto é, como se obtém esse gráfico a partir da parábola base).
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita da função é
.
Passo 2
Domínio: explicar o que pode dar problema numa função.
Para decidir o domínio, pergunto: existe algum que torne a expressão inválida (divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.)? Aqui a expressão é um polinômio composto por potências e subtração, e não há raiz nem divisão por variável. Logo todos os números reais são permitidos.
Para decidir o domínio, pergunto: existe algum
Portanto o domínio é
.
Passo 3
Reescrever a função numa forma que destaque o vértice.
Faço uma pequena reorganização algébrica para deixar explícito o coeficiente que multiplica o quadrado:
Faço uma pequena reorganização algébrica para deixar explícito o coeficiente que multiplica o quadrado:
Agora compare com a forma de vértice geral de uma parábola:
onde:
-
controla a abertura (se abre para cima; se abre para baixo) e o “estreitamento”; -
é o vértice da parábola (ponto de máximo ou mínimo).
No nosso caso:
Passo 4
Determinar vértice e eixo de simetria.
Pela forma de vértice , o vértice é
. Assim o vértice de
é
Pela forma de vértice
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
Passo 5
Determinar direção da abertura e máximo/mínimo; obter imagem (range).
Como , a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um ponto de máximo. O valor máximo de
é a ordenada do vértice,
. Como a parábola segue para baixo indefinidamente, a imagem (conjunto de valores possíveis) é
Como
Passo 6
Calcular intercepto com o eixo
(ordenada na origem).
Avalio :
Avalio
Logo o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 7
Calcular interceptos com o eixo
(raízes).
Resolvo :
Resolvo
Tirando raiz:
Portanto os dois pontos onde a parábola corta o eixo
são
Como referência numérica,
, então aproximadamente
e
.
Passo 8
Obter pontos simétricos úteis para o esboço.
Como a parábola é simétrica em , pontos à mesma distância de
têm mesma ordenada. Já calculei
; então à direita simétrica
tenho
Como a parábola é simétrica em
portanto
é simétrico de
. Calculo também pontos a distância 2 de
:
e
,
Esses pontos ajudam a dar a forma correta ao desenhar.
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passo a passo para fazer na prova, sem calculadora):
- Desenhe e marque os eixos
e . - Marque o vértice
e trace a reta vertical como eixo de simetria (linha tracejada). - Marque os interceptos já calculados:
e (pontos simétricos) e as raízes . - Marque também
e (ou os pontos e para ajudar). - Desenhe uma curva suave passando pelo vértice, pelos pontos marcados e abrindo para baixo (forma de “U” invertido). Verifique simetria: cada ponto à esquerda de
tem correspondente à direita com mesma ordenada.
Passo 10
Identificar como o gráfico se relaciona com a parábola base
.
Escrevendo em termos de transformações sobre
:
Escrevendo
Aplicando transformações na ordem conveniente sobre o gráfico de
:
- Translação horizontal para a direita de
unidade: (vértice passa de para ). - Reflexão em relação ao eixo
: (abre para baixo). - Translação vertical para cima de
unidades: (vértice sobe de para ).
Resumo da relação: o gráfico de
é a parábola padrão
deslocada para a direita 1, refletida verticalmente (abre para baixo) e deslocada para cima 6.
Passo 11
Recapitulando as propriedades importantes (para checar no esboço):
- Domínio:
. - Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Abertura: para baixo (coeficiente
). - Imagem (range):
. - Intercepto com
: . - Interceptos com
: e . - Transformações em relação a
: translação para a direita 1, reflexão vertical, translação para cima 6.
Resposta
Domínio:
Imagem (range):
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para baixo (coeficiente )
Intercepto com :
Interceptos com :
e
Relação com a parábola base : deslocar para a direita
, refletir em
-axis (multiplicar por
), e deslocar para cima
.
Imagem (range):
Vértice:
Eixo de simetria:
Abertura: para baixo (coeficiente
Intercepto com
Interceptos com
Relação com a parábola base