Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a função
:
- Determinar o domínio de
. - Construir (desenhar/esboçar) o gráfico de
e identificar como os gráficos de funções do mesmo tipo se relacionam.
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Domínio: pensar no que pode causar problema de definição. Para polinômios (expressões do tipo soma de potências de
com coeficientes), não há divisão por zero nem raízes pares de números negativos etc. Portanto um polinômio está definido para todos os números reais.
Conclusão: o domínio de
é o conjunto de todos os números reais, que escrevemos como
.
Passo 3
Revisando a forma canônica do cúbico básico para nos guiar no desenho: a função cúbica mais simples é
. Características úteis de
:
- É crescente em todo
. - Tem ponto de inflexão em
(a curvatura muda de côncava para convexa ali). - Passa por
, , . - Comportamento nas extremidades:
e .
Essas propriedades definem a forma em “S” característica do cúbico.
Passo 4
Relacionando
com
: note que
Regra de transformações horizontais: se
então o gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades para a direita; se
é transladado
unidades para a esquerda. Aqui temos
, então é uma translação horizontal de
de uma unidade para a esquerda.
Consequência geométrica imediata: o ponto de inflexão de
que estava em
passa para
em
.
Passo 5
Pontos-chave para traçar o gráfico de
. Calcule alguns pontos simples para orientar o esboço:
Então pontos úteis:
,
,
,
. Esses pontos têm a mesma “estrutura” que
do cúbico
, só deslocados um passo para a esquerda.
Passo 6
Monotonicidade e derivadas (para justificar o formato do gráfico): a derivada de
é
Essa expressão satisfaz
para todo
e
somente em
. Mesmo com
, a função é estritamente crescente em
. Uma forma direta de ver que é estritamente crescente é usar a fatoração de diferença de cubos: para
,
pois o segundo fator é estritamente positivo. Assim
sempre que
.
Passo 7
Instrução prática para desenhar o gráfico de
:
- Desenhe eixos
e . - Marque o ponto de inflexão em
. - Marque os pontos calculados
, e . - Faça uma curva em S que passe por esses pontos, com inclinação horizontal (tangente horizontal) em
e que cresça para à direita e decresça para à esquerda.
Essa curva será idêntica à domas deslocada uma unidade para a esquerda.
Passo 8
Generalização para funções do mesmo tipo: as funções da forma
são todas translações horizontais do gráfico de
. Mais precisamente, o gráfico de
é o gráfico de
deslocado
unidades para a esquerda se
(ou para a direita se
). Todas mantêm a mesma forma (mesma curvatura e comportamento nas extremidades) e as mesmas propriedades de monotonicidade e ponto de inflexão, apenas movidas horizontalmente.
Resposta
Domínio:
O gráfico de é o gráfico de
transladado uma unidade para a esquerda; tem ponto de inflexão em
e é estritamente crescente em
.
O gráfico de