Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
g(x)=(x+1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a função g(x)=(x+1)^{3}:
  • Determinar o domínio de g.
  • Construir (desenhar/esboçar) o gráfico de g e identificar como os gráficos de funções do mesmo tipo se relacionam.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente g(x)=(x+1)^{3}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Domínio: pensar no que pode causar problema de definição. Para polinômios (expressões do tipo soma de potências de x com coeficientes), não há divisão por zero nem raízes pares de números negativos etc. Portanto um polinômio está definido para todos os números reais.
Conclusão: o domínio de g é o conjunto de todos os números reais, que escrevemos como \mathbb{R}.

Passo 3

Revisando a forma canônica do cúbico básico para nos guiar no desenho: a função cúbica mais simples é f(x)=x^{3}. Características úteis de f(x)=x^{3}:
  • É crescente em todo \mathbb{R}.
  • Tem ponto de inflexão em (0,0) (a curvatura muda de côncava para convexa ali).
  • Passa por ( -1,-1), (0,0), (1,1).
  • Comportamento nas extremidades: \lim_{x\to\infty}x^{3}=\infty e \lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty.
    Essas propriedades definem a forma em “S” característica do cúbico.

Passo 4

Relacionando g com f: note que
g(x)=(x+1)^{3}=f(x+1).
Regra de transformações horizontais: se h(x)=f(x-a) então o gráfico de h é o gráfico de f transladado a unidades para a direita; se h(x)=f(x+a) é transladado |a| unidades para a esquerda. Aqui temos f(x+1), então é uma translação horizontal de f de uma unidade para a esquerda.
Consequência geométrica imediata: o ponto de inflexão de f que estava em (0,0) passa para (-1,0) em g.

Passo 5

Pontos-chave para traçar o gráfico de g. Calcule alguns pontos simples para orientar o esboço:
g(-2)=(-2+1)^{3}=(-1)^{3}=-1,
g(-1)=(-1+1)^{3}=0^{3}=0,
g(0)=(0+1)^{3}=1^{3}=1,
g(1)=(1+1)^{3}=2^{3}=8.
Então pontos úteis: (-2,-1), (-1,0), (0,1), (1,8). Esses pontos têm a mesma “estrutura” que (-1,-1),(0,0),(1,1),(2,8) do cúbico x^{3}, só deslocados um passo para a esquerda.

Passo 6

Monotonicidade e derivadas (para justificar o formato do gráfico): a derivada de g é
g'(x)=3(x+1)^{2}.
Essa expressão satisfaz g'(x)\ge 0 para todo x e g'(x)=0 somente em x=-1. Mesmo com g'(-1)=0, a função é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma forma direta de ver que é estritamente crescente é usar a fatoração de diferença de cubos: para x_{2}>x_{1},
g(x_{2})-g(x_{1})=(x_{2}+1)^{3}-(x_{1}+1)^{3}=(x_{2}-x_{1})\big((x_{2}+1)^{2}+(x_{2}+1)(x_{1}+1)+(x_{1}+1)^{2}\big)>0,
pois o segundo fator é estritamente positivo. Assim g(x_{2})>g(x_{1}) sempre que x_{2}>x_{1}.

Passo 7

Instrução prática para desenhar o gráfico de g:
  • Desenhe eixos x e y.
  • Marque o ponto de inflexão em (-1,0).
  • Marque os pontos calculados (-2,-1), (0,1) e (1,8).
  • Faça uma curva em S que passe por esses pontos, com inclinação horizontal (tangente horizontal) em (-1,0) e que cresça para \infty à direita e decresça para -\infty à esquerda.
    Essa curva será idêntica à do y=x^{3} mas deslocada uma unidade para a esquerda.

Passo 8

Generalização para funções do mesmo tipo: as funções da forma (x+c)^{3} são todas translações horizontais do gráfico de y=x^{3}. Mais precisamente, o gráfico de y=(x+c)^{3} é o gráfico de y=x^{3} deslocado |c| unidades para a esquerda se c>0 (ou para a direita se c<0). Todas mantêm a mesma forma (mesma curvatura e comportamento nas extremidades) e as mesmas propriedades de monotonicidade e ponto de inflexão, apenas movidas horizontalmente.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
O gráfico de g(x)=(x+1)^{3} é o gráfico de y=x^{3} transladado uma unidade para a esquerda; tem ponto de inflexão em (-1,0) e é estritamente crescente em \mathbb{R}.

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