Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
h(x)=(x+1)^{3}+1

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=(x+1)^{3}+1 e pede:
  • Determinar o domínio de h.
  • Construir o gráfico de h (ou indicar como esboçá‑lo).
  • Identificar como o gráfico de h se relaciona com os gráficos de funções do mesmo tipo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica da função é h(x)=(x+1)^{3}+1.
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre x.

Passo 2

Entender o que é domínio e decidir o domínio aqui.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão da função está bem definida. Polinômios e funções sob radicais ou frações podem ter restrições; por isso é bom verificar o tipo da função.
Aqui, a expressão (x+1)^{3}+1 é um polinômio em x (um cubo de um binômio mais uma constante). Polinômios estão definidos para qualquer número real x. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Conclusão do passo:
  • Domínio: \mathbb{R}.

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo / conjunto de valores) e natureza de crescimento — por que isso importa para o gráfico.
Explicação didática: para saber se a função atinge todos os valores ou se tem máximos/minimos, olhamos o comportamento para x\to\pm\infty e, se quiser, derivadas. Para a função cúbica padrão y=x^{3} tem \lim_{x\to\infty}x^{3}=\infty e \lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty, então sua imagem é \mathbb{R}.
No nosso caso, como h é apenas uma translação da cúbica, os limites em \pm\infty continuam indo para \pm\infty. Assim a imagem (range) também é \mathbb{R}.
Conclusão do passo:
  • Imagem (conjunto de valores): \mathbb{R}.

Passo 4

Analisar a função base y=x^{3} para entender o formato do gráfico e identificar transformações usadas para obter h(x).
Explicação didática sobre a função base:
  • A função f(x)=x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, tem uma curvatura que muda sinal no ponto (0,0) (ponto de inflexão) e tem assimetria ímpar (simetria ponto a ponto em relação à origem).
  • O gráfico de f passa por (0,0), por (1,1) e por (-1,-1). Tem tangente horizontal apenas no ponto de inflexão (tangente com inclinação zero em x=0).
Transformações:
  • Substituir x por x+1 desloca o gráfico da função base uma unidade para a esquerda. Regra geral: x\mapsto x-h desloca para a direita em h; então x+1 é x-(-1), desloca para a esquerda 1.
  • Somar +1 ao final desloca o gráfico uma unidade para cima.
Aplicando ao nosso caso: partir de y=x^{3}, primeiro trocar x por x+1 (desloca à esquerda 1), depois somar 1 (desloca para cima 1). Logo h(x) é a cúbica padrão deslocada pelo vetor de translação (-1,\,1).

Passo 5

Identificar pontos-chave para desenhar o gráfico de h e calcular valores numéricos para plotagem.
Explicação didática: um bom esboço precisa do ponto de inflexão (o “centro” da cúbica) e alguns pontos à direita e à esquerda para marcar a forma curva.
O ponto de inflexão da cúbica y=x^{3} é (0,0). Como houve translação por (-1,1), o ponto de inflexão de h é (-1,1).
Agora calculo valores de h em alguns x úteis (mostrar contas passo a passo):
Para x=-3:
h(-3)=((-3)+1)^{3}+1 = (-2)^{3}+1 = -8+1 = -7.
Para x=-2:
h(-2)=((-2)+1)^{3}+1 = (-1)^{3}+1 = -1+1 = 0.
Para x=-1:
h(-1)=((-1)+1)^{3}+1 = 0^{3}+1 = 0+1 = 1.
Para x=0:
h(0)=(0+1)^{3}+1 = 1^{3}+1 = 1+1 = 2.
Para x=1:
h(1)=(1+1)^{3}+1 = 2^{3}+1 = 8+1 = 9.
Pontos para marcar no esboço: (-3,-7), (-2,0), (-1,1) (ponto de inflexão, tangente horizontal), (0,2), (1,9).

Passo 6

Comportamento da derivada e tipo de extremo — por que o ponto (-1,1) é inflexão com tangente horizontal e não um máximo/minimo.
Explicação didática:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}. Aplicando a regra da cadeia e as transformações, a derivada de h é
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{3}+1\bigr)=3(x+1)^{2}.
Aqui x é a variável independente; h'(x) dá a inclinação da tangente no ponto x.
  • Observa-se que h'(x)\ge 0 para todo x e h'(x)=0 apenas em x=-1. Mesmo com derivada zero em x=-1, não há mudança de sinal de h' (à esquerda e à direita de -1, h' continua não negativa), portanto não existe máximo ou mínimo local — trata‑se de uma tangente horizontal no ponto de inflexão.
  • Para verificar inflexão, a segunda derivada:
h''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3(x+1)^{2}\bigr)=6(x+1).
Temos h''(-1)=0 e h'' muda de sinal em x=-1 (negativa para x<-1, positiva para x>-1), o que confirma que (-1,1) é ponto de inflexão.

Passo 7

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova, sem calcular muitos pontos):
  1. Desenhe os eixos cartesianos.
  2. Marque e desenhe o ponto de inflexão (-1,1). Esse é o “centro” do gráfico da cúbica.
  3. Marque os pontos calculados: (-3,-7), (-2,0), (-1,1), (0,2), (1,9).
  4. Lembre que para x\to-\infty a função tende para -\infty e para x\to\infty tende para \infty. Conecte os pontos com uma curva suave, crescente, que tem tangente horizontal em (-1,1) e muda de curvatura ali.
  5. Verifique simetria: a curva é ponto-simétrica em relação ao ponto (-1,1) (herança da simetria ímpar de x^{3} em relação à origem).

Passo 8

Responder à parte que pede “como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo”.
Explicação didática e conclusão:
  • Funções do tipo y=(x-a)^{3}+b são exatamente as cúbicas padrões y=x^{3} deslocadas: para a positivo desloca-se para a direita em a, para a negativo desloca-se para a esquerda em |a|; somar b desloca o gráfico verticalmente para cima se b>0 e para baixo se b<0.
  • No caso concreto, h(x)=(x+1)^{3}+1 é y=x^{3} deslocada uma unidade para a esquerda (por causa de x+1) e uma unidade para cima (por causa do +1). Em geral, gráficos de cúbicas da forma (x-a)^{3}+b diferem uns dos outros apenas por translações no plano; a forma básica (tendência de crescimento, ponto de inflexão, comportamento nas infinitudes) é a mesma.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (conjunto de valores): \mathbb{R}
Gráfico: cúbica obtida a partir de y=x^{3} por translação de 1 unidade para a esquerda e 1 unidade para cima; pontos úteis: (-3,-7), (-2,0), (-1,1) (ponto de inflexão, tangente horizontal), (0,2), (1,9).
Relação com funções do mesmo tipo: funções da forma y=(x-a)^{3}+b são translações de y=x^{3}; o gráfico muda apenas por deslocamento (a,b).

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