Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Determinar o domínio de
. - Construir o gráfico de
(ou indicar como esboçá‑lo). - Identificar como o gráfico de
se relaciona com os gráficos de funções do mesmo tipo.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica da função é
. - Não há restrição explícita no enunciado sobre
.
Passo 2
Entender o que é domínio e decidir o domínio aqui.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão da função está bem definida. Polinômios e funções sob radicais ou frações podem ter restrições; por isso é bom verificar o tipo da função.
Aqui, a expressão
é um polinômio em
(um cubo de um binômio mais uma constante). Polinômios estão definidos para qualquer número real
. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Conclusão do passo:
- Domínio:
.
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo / conjunto de valores) e natureza de crescimento — por que isso importa para o gráfico.
Explicação didática: para saber se a função atinge todos os valores ou se tem máximos/minimos, olhamos o comportamento para
e, se quiser, derivadas. Para a função cúbica padrão
tem
e
, então sua imagem é
.
No nosso caso, como
é apenas uma translação da cúbica, os limites em
continuam indo para
. Assim a imagem (range) também é
.
Conclusão do passo:
- Imagem (conjunto de valores):
.
Passo 4
Analisar a função base
para entender o formato do gráfico e identificar transformações usadas para obter
.
Explicação didática sobre a função base:
- A função
é estritamente crescente em , tem uma curvatura que muda sinal no ponto (ponto de inflexão) e tem assimetria ímpar (simetria ponto a ponto em relação à origem). - O gráfico de
passa por , por e por . Tem tangente horizontal apenas no ponto de inflexão (tangente com inclinação zero em ).
Transformações:
- Substituir
por desloca o gráfico da função base uma unidade para a esquerda. Regra geral: desloca para a direita em ; então é , desloca para a esquerda 1. - Somar
ao final desloca o gráfico uma unidade para cima.
Aplicando ao nosso caso: partir de
, primeiro trocar
por
(desloca à esquerda 1), depois somar
(desloca para cima 1). Logo
é a cúbica padrão deslocada pelo vetor de translação
.
Passo 5
Identificar pontos-chave para desenhar o gráfico de
e calcular valores numéricos para plotagem.
Explicação didática: um bom esboço precisa do ponto de inflexão (o “centro” da cúbica) e alguns pontos à direita e à esquerda para marcar a forma curva.
O ponto de inflexão da cúbica
é
. Como houve translação por
, o ponto de inflexão de
é
.
Agora calculo valores de
em alguns
úteis (mostrar contas passo a passo):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Pontos para marcar no esboço:
,
,
(ponto de inflexão, tangente horizontal),
,
.
Passo 6
Comportamento da derivada e tipo de extremo — por que o ponto
é inflexão com tangente horizontal e não um máximo/minimo.
Explicação didática:
- Derivada de
é . Aplicando a regra da cadeia e as transformações, a derivada de é
Aqui
é a variável independente;
dá a inclinação da tangente no ponto
.
- Observa-se que
para todo e apenas em . Mesmo com derivada zero em , não há mudança de sinal de (à esquerda e à direita de , continua não negativa), portanto não existe máximo ou mínimo local — trata‑se de uma tangente horizontal no ponto de inflexão. - Para verificar inflexão, a segunda derivada:
Temos
e
muda de sinal em
(negativa para
, positiva para
), o que confirma que
é ponto de inflexão.
Passo 7
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova, sem calcular muitos pontos):
- Desenhe os eixos cartesianos.
- Marque e desenhe o ponto de inflexão
. Esse é o “centro” do gráfico da cúbica. - Marque os pontos calculados:
, , , , . - Lembre que para
a função tende para e para tende para . Conecte os pontos com uma curva suave, crescente, que tem tangente horizontal em e muda de curvatura ali. - Verifique simetria: a curva é ponto-simétrica em relação ao ponto
(herança da simetria ímpar de em relação à origem).
Passo 8
Responder à parte que pede “como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo”.
Explicação didática e conclusão:
- Funções do tipo
são exatamente as cúbicas padrões deslocadas: para positivo desloca-se para a direita em , para negativo desloca-se para a esquerda em ; somar desloca o gráfico verticalmente para cima se e para baixo se . - No caso concreto,
é deslocada uma unidade para a esquerda (por causa de ) e uma unidade para cima (por causa do ). Em geral, gráficos de cúbicas da forma diferem uns dos outros apenas por translações no plano; a forma básica (tendência de crescimento, ponto de inflexão, comportamento nas infinitudes) é a mesma.
Resposta
Domínio:
Imagem (conjunto de valores):
Gráfico: cúbica obtida a partir de por translação de 1 unidade para a esquerda e 1 unidade para cima; pontos úteis:
,
,
(ponto de inflexão, tangente horizontal),
,
.
Relação com funções do mesmo tipo: funções da forma são translações de
; o gráfico muda apenas por deslocamento
.
Imagem (conjunto de valores):
Gráfico: cúbica obtida a partir de
Relação com funções do mesmo tipo: funções da forma