Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: (1) determinar o domínio; (2) construir (descrever como seria) o gráfico; (3) identificar como o gráfico se relaciona com os gráficos de funções do mesmo tipo. Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de
e nada mais (não há figura nem restrição extra).
Passo 2
O que significa “domínio” e como decidir aqui. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais de
para os quais a expressão que define a função está bem definida (sem divisão por zero, sem raiz par de número negativo, sem log de número não positivo, etc.). A função
é um polinômio (é um monômio na verdade), e polinômios estão definidos para todo
. Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Passo 3
Interceptos com os eixos: como encontrar?
- Intercepto em
(quando ): calcular .
logo o ponto
é intercepto em
.
- Interceptos em
(quando ): resolver . Multiplicando ambos os lados por dá , então . Logo o único intercepto com o eixo também é .
Passo 4
Simetria da função: testar
.
Como
para todo
,
é uma função ímpar. Geometricamente isso significa simetria em relação à origem: se
pertence ao gráfico então
também pertence.
Passo 5
Monotonicidade: vamos entender se a função cresce ou decresce. Uma maneira é usar o fato conhecido: a função
é estritamente crescente em
(se
então
). Multiplicar por
preserva a ordem; portanto
também é estritamente crescente em
. Outra forma é usar derivada (segue uma mini-aula sobre derivada, caso ainda não tenha visto): a derivada de
é
Aqui
para todo
e
só em
. Mesmo com
, a função continua estritamente crescente porque o sinal da derivada só zera num ponto isolado; a ordem
garante que
. Portanto: estritamente crescente em todo
.
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão: pequena explicação do conceito. A segunda derivada dá informação sobre concavidade: se
então curva é côncava para cima; se
é côncava para baixo; mudança de sinal indica ponto de inflexão.
Calculemos:
Calculemos:
- Para
tem-se : concavidade para baixo. - Para
tem-se : concavidade para cima.
Como a concavidade muda de sinal em, existe um ponto de inflexão em . Como , o ponto de inflexão é . Observação: é também um ponto de tangente horizontal porque ; chama-se ponto de inflexão com tangente horizontal.
Passo 7
Comportamento para
(end behavior): calcular limites para entender “as extremidades” do gráfico.
Isto mostra que à medida que
cresce muito,
cresce sem limite; para
negativo grande,
vai para
. Portanto o gráfico tem as “pontas” subindo à direita e descendo à esquerda, típico de um cúbico ímpar.
Passo 8
Pontos adicionais para ajudar a desenhar: calcular alguns valores simples para plotar (tabela). Vou pegar valores inteiros pequenos para facilitar o esboço:
Esses pontos
,
,
,
,
mostram a forma S: suave, passando pela origem com tangente horizontal, mais “achatada” perto da origem (devido ao fator
) e com crescimento mais acentuado ao longe. Para desenhar: marcar esses pontos e ligar com uma curva suave que respeite a concavidade (côncava para baixo à esquerda de
, côncava para cima à direita).
Passo 9
Relação com a função “do mesmo tipo” (função cúbica básica). A função base é
. A nossa função é
Isto é uma transformação que multiplica todas as ordenadas (valores de
) por
. Interpretando geometricamente:
- É uma compressão vertical do gráfico de
por um fator (ou seja, cada do gráfico de vira ). - Porque o fator é positivo, não há reflexão; porque é menor que
, o gráfico fica “mais achatado” verticalmente perto da origem.
De modo geral, para funções do tipo: - se
o gráfico preserva orientação (não inverte); - se
há compressão vertical (mais achatado); - se
há esticamento vertical; - se
além do esticamento/compressão há também reflexão em relação ao eixo .
Passo 10
Resumo das características importantes (úteis para a prova e para esboçar rápido):
- Domínio:
. - Intercepto único:
. - Função ímpar (simetria em relação à origem).
- Estritamente crescente em
. - Ponto de inflexão em
com tangente horizontal. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - End behavior: sobe para
à direita e vai a à esquerda. - Relação com
: é o mesmo gráfico comprimido verticalmente por fator .
Resposta
Domínio:
.
O gráfico é uma cúbica ímpar que passa por , estritamente crescente, com ponto de inflexão e tangente horizontal em
; concavidade negativa para
e positiva para
; comporta-se como
e
.
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de é o gráfico de
comprimido verticalmente por fator
(multiplica as ordenadas por
).
O gráfico é uma cúbica ímpar que passa por
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de