Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
p(x)=\frac{x^{3}}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função
p(x)=\frac{x^{3}}{4}
e pede três coisas: (1) determinar o domínio; (2) construir (descrever como seria) o gráfico; (3) identificar como o gráfico se relaciona com os gráficos de funções do mesmo tipo. Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de p e nada mais (não há figura nem restrição extra).

Passo 2

O que significa “domínio” e como decidir aqui. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (sem divisão por zero, sem raiz par de número negativo, sem log de número não positivo, etc.). A função p é um polinômio (é um monômio na verdade), e polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
\text{Dom}(p)=\mathbb{R}.

Passo 3

Interceptos com os eixos: como encontrar?
  • Intercepto em y (quando x=0): calcular p(0).
p(0)=\frac{0^{3}}{4}=0,
logo o ponto (0,0) é intercepto em y.
  • Interceptos em x (quando p(x)=0): resolver \dfrac{x^{3}}{4}=0. Multiplicando ambos os lados por 4 x^{3}=0, então x=0. Logo o único intercepto com o eixo x também é (0,0).

Passo 4

Simetria da função: testar p(-x).
p(-x)=\frac{(-x)^{3}}{4}=\frac{-x^{3}}{4}=-p(x).
Como p(-x)=-p(x) para todo x, p é uma função ímpar. Geometricamente isso significa simetria em relação à origem: se (a,b) pertence ao gráfico então (-a,-b) também pertence.

Passo 5

Monotonicidade: vamos entender se a função cresce ou decresce. Uma maneira é usar o fato conhecido: a função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R} (se x_{1}<x_{2} então x_{1}^{3}<x_{2}^{3}). Multiplicar por \tfrac{1}{4}>0 preserva a ordem; portanto p(x)=\tfrac{1}{4}x^{3} também é estritamente crescente em \mathbb{R}. Outra forma é usar derivada (segue uma mini-aula sobre derivada, caso ainda não tenha visto): a derivada de p é
p'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{4}\right)=\frac{3x^{2}}{4}\ge 0.
Aqui p'(x)\ge 0 para todo x e p'(x)=0 só em x=0. Mesmo com p'(0)=0, a função continua estritamente crescente porque o sinal da derivada só zera num ponto isolado; a ordem x^{3} garante que x_{1}<x_{2}\Rightarrow p(x_{1})<p(x_{2}). Portanto: estritamente crescente em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão: pequena explicação do conceito. A segunda derivada dá informação sobre concavidade: se p''(x)>0 então curva é côncava para cima; se p''(x)<0 é côncava para baixo; mudança de sinal indica ponto de inflexão.
Calculemos:
p''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^{2}}{4}\right)=\frac{6x}{4}=\frac{3x}{2}.
  • Para x<0 tem-se p''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para x>0 tem-se p''(x)>0: concavidade para cima.
    Como a concavidade muda de sinal em x=0, existe um ponto de inflexão em x=0. Como p(0)=0, o ponto de inflexão é (0,0). Observação: é também um ponto de tangente horizontal porque p'(0)=0; chama-se ponto de inflexão com tangente horizontal.

Passo 7

Comportamento para x\to\pm\infty (end behavior): calcular limites para entender “as extremidades” do gráfico.
\lim_{x\to+\infty}p(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}}{4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}p(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{4}=-\infty.
Isto mostra que à medida que x cresce muito, p(x) cresce sem limite; para x negativo grande, p(x) vai para -\infty. Portanto o gráfico tem as “pontas” subindo à direita e descendo à esquerda, típico de um cúbico ímpar.

Passo 8

Pontos adicionais para ajudar a desenhar: calcular alguns valores simples para plotar (tabela). Vou pegar valores inteiros pequenos para facilitar o esboço:
\begin{array}{c|c} x & p(x)=\dfrac{x^{3}}{4}\\hline -2 & \dfrac{(-2)^{3}}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2\\\\ -1 & \dfrac{-1}{4}=-0{,}25\\\\ 0 & 0\\\\ 1 & \dfrac{1}{4}=0{,}25\\\\ 2 & \dfrac{8}{4}=2 \end{array}
Esses pontos (-2,-2), (-1,-0{,}25), (0,0), (1,0{,}25), (2,2) mostram a forma S: suave, passando pela origem com tangente horizontal, mais “achatada” perto da origem (devido ao fator \tfrac{1}{4}) e com crescimento mais acentuado ao longe. Para desenhar: marcar esses pontos e ligar com uma curva suave que respeite a concavidade (côncava para baixo à esquerda de 0, côncava para cima à direita).

Passo 9

Relação com a função “do mesmo tipo” (função cúbica básica). A função base é f(x)=x^{3}. A nossa função é
p(x)=\frac{1}{4}x^{3}=\frac{1}{4}f(x).
Isto é uma transformação que multiplica todas as ordenadas (valores de y) por \tfrac{1}{4}. Interpretando geometricamente:
  • É uma compressão vertical do gráfico de y=x^{3} por um fator \tfrac{1}{4} (ou seja, cada y do gráfico de x^{3} vira \tfrac{1}{4}y).
  • Porque o fator é positivo, não há reflexão; porque é menor que 1, o gráfico fica “mais achatado” verticalmente perto da origem.
    De modo geral, para funções do tipo y=a x^{3}:
  • se a>0 o gráfico preserva orientação (não inverte);
  • se 0<a<1 há compressão vertical (mais achatado);
  • se a>1 há esticamento vertical;
  • se a<0 além do esticamento/compressão há também reflexão em relação ao eixo x.

Passo 10

Resumo das características importantes (úteis para a prova e para esboçar rápido):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Intercepto único: (0,0).
  • Função ímpar (simetria em relação à origem).
  • Estritamente crescente em \mathbb{R}.
  • Ponto de inflexão em (0,0) com tangente horizontal.
  • Concavidade: côncava para baixo em x<0, côncava para cima em x>0.
  • End behavior: sobe para +\infty à direita e vai a -\infty à esquerda.
  • Relação com y=x^{3}: é o mesmo gráfico comprimido verticalmente por fator \tfrac{1}{4}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
O gráfico é uma cúbica ímpar que passa por (0,0), estritamente crescente, com ponto de inflexão e tangente horizontal em (0,0); concavidade negativa para x<0 e positiva para x>0; comporta-se como \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty.
Relação com funções do mesmo tipo: o gráfico de p(x)=\dfrac{x^{3}}{4} é o gráfico de y=x^{3} comprimido verticalmente por fator \tfrac{1}{4} (multiplica as ordenadas por \tfrac{1}{4}).

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