Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
f(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá uma função explícita e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Construir o gráfico da função.
    Em seguida pede para identificar como se relacionam os gráficos de funções “do mesmo tipo” (isto é, da família das funções raiz quadrada). A função dada é f(x)=\sqrt{x}. As informações relevantes que temos são: a expressão dentro da raiz é x e a raiz é a raiz quadrada (valor principal, não negativo).

Passo 2

O que significa “domínio” e como eu descubro aqui?
  • Domínio de uma função é o conjunto de x nos quais a expressão que define a função faz sentido como número real.
  • Para a raiz quadrada real, só faz sentido (no conjunto dos reais) se o radicando for maior ou igual a zero.
    Portanto, imponho a desigualdade
x\ge 0.
Assim o domínio é o conjunto de todos os x que satisfazem essa condição.

Passo 3

Concluindo o domínio com notação padrão:
  • Em intervalo: [0,\infty).
  • Em palavras: todos os números reais maiores ou iguais a zero.
    Escrevendo a resposta do domínio em forma matemática: o domínio de f é [0,\infty).

Passo 4

Agora a imagem (ou contradomínio efetivo, o conjunto de valores que f atinge) — por que é importante?
  • A função raiz quadrada retorna sempre um número real não negativo: \sqrt{x}\ge 0 quando definida.
    Logo a imagem (ou conjunto-valor) é [0,\infty) também.
    Em particular f(0)=\sqrt{0}=0 e f(x)>0 para todo x>0.

Passo 5

Interceptos e pontos especiais (úteis para desenhar o gráfico):
  • Intercepto com o eixo x: solução de \sqrt{x}=0 é x=0. Então há intercepto em (0,0).
  • Intercepto com o eixo y: é f(0)=0, o mesmo ponto (0,0).
  • Alguns pontos fáceis de calcular para rascunho: f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(4)=2,\quad f(9)=3,\quad f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{1}{2}.
Esses pontos formam uma boa malha para desenhar.

Passo 6

Forma e comportamento da curva (intuição por derivadas, explicada com calma):
  • A derivada (para x>0) é f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.Explicação rápida: derivada mede taxa de variação; aqui f'(x)>0 para todo x>0, portanto f é estritamente crescente em (0,\infty).
  • Observações sobre f'(x):
    • Quando x se aproxima de 0^+, \sqrt{x} é pequeno e f'(x) fica grande: a tangente em 0 é quase vertical (declividade tende a +\infty).
    • Quando x\to\infty, \sqrt{x}\to\infty e f'(x)\to 0^+: a curva fica cada vez mais “achatada”.
  • Segunda derivada (para ver concavidade): f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0\quad\text{para }x>0,isto mostra que a curva é côncava para baixo em todo (0,\infty).

Passo 7

Relação geométrica com a parábola:
  • Se y=\sqrt{x}, então elevando ao quadrado obtemos y^2=x com a restrição y\ge 0.
  • Logo o gráfico de y=\sqrt{x} é a “metade superior” (ramo com y\ge0) da parábola dada por x=y^2, ou pensado de outra forma: é a parábola que se abre para a direita, tomada apenas na parte com y\ge0.

Passo 8

Como construir o gráfico na prática (passo-a-passo para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Marque o ponto de início do domínio no eixo x: x=0. O valor correspondente é y=0 (ponto (0,0)).
  2. Marque os pontos calculados no Passo 5: (1,1), (4,2), (9,3), (\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}).
  3. Lembre-se da forma: curva começa em (0,0) com inclinação alta, sobe de forma decrescente e vai “achatando” quando x cresce.
  4. Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, sem voltar para a esquerda (função é crescente) e mantendo concavidade para baixo.
    Isso produz o esboço do gráfico de y=\sqrt{x}.

Passo 9

Identificando como se relacionam os gráficos das funções “do mesmo tipo” (família da raiz quadrada)
  • A família básica que usamos como referência é f(x)=\sqrt{x}.
  • Funções da mesma família costumam aparecer na forma geral g(x)=a\sqrt{x-h}+k,onde a,h,k são constantes reais (com a\neq 0). Explicação do efeito de cada parâmetro:
    • h desloca o gráfico horizontalmente: substituição x\mapsto x-h desloca para a direita por h (se h>0) ou para a esquerda por |h| (se h<0). O novo domínio será x\ge h.
    • k desloca verticalmente: soma +k move o gráfico para cima por k (se k>0) ou para baixo (se k<0).
    • a altera a amplitude e direção: se a>0 aplica uma escala vertical por fator a (se a>1, estica verticalmente; se 0<a<1, comprime verticalmente). Se a<0, além de escalonar verticalmente, há reflexão em relação ao eixo x (o ramo passa a ficar com y\le k em vez de y\ge k).
  • Observação sobre termos dentro da raiz que envolvam multiplicação por constantes: por exemplo \sqrt{b x} com b>0 pode ser reescrita como \sqrt{b}\,\sqrt{x}, que se manifesta como um escalonamento vertical por \sqrt{b}. Em mudanças horizontais do tipo \sqrt{\tfrac{x-h}{m}} com m>0 ocorre uma dilatação horizontal por fator m combinada com um escalonamento vertical por 1/\sqrt{m}.
  • Resumindo de forma prática: gráficos de funções do tipo raiz quadrada são obtidos a partir do gráfico de \sqrt{x} por translações (horizontal e vertical), escalamentos e possíveis reflexões.

Passo 10

Recapitulando para fixar (dicas rápidas para a prova)
  • Para qualquer g(x) do tipo raiz quadrada, comece encontrando o ponto inicial do domínio resolvendo o radicando \ge 0.
  • Calcule alguns pontos inteiros ou quadrados perfeitos para facilitar o esboço.
  • Use a informação de monotonicidade (geralmente crescente quando tomamos a raiz principal) e concavidade (côncava para baixo no caso padrão) para dar o formato correto.
  • Lembre-se: o gráfico de \sqrt{x} é a “metade superior” da parábola x=y^2.

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty)
Gráfico: curva que parte de (0,0), passa por (1,1),(4,2),(9,3), é crescente e côncava para baixo, com inclinação muito grande perto de 0 e tendendo a 0 quando x\to\infty; geometricamente é a metade superior da parábola x=y^2.
Relação entre gráficos da mesma família: gráficos de funções da forma a\sqrt{x-h}+k são obtidos a partir de y=\sqrt{x} por translações horizontais ( h), translações verticais ( k), escalonamentos verticais/reflexões ( a) e, para fatores internos, combinações equivalentes de dilatação horizontal e escala vertical conforme explicado.

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