Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá uma função explícita e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Construir o gráfico da função.
Em seguida pede para identificar como se relacionam os gráficos de funções “do mesmo tipo” (isto é, da família das funções raiz quadrada). A função dada é. As informações relevantes que temos são: a expressão dentro da raiz é e a raiz é a raiz quadrada (valor principal, não negativo).
Passo 2
O que significa “domínio” e como eu descubro aqui?
- Domínio de uma função é o conjunto de
nos quais a expressão que define a função faz sentido como número real. - Para a raiz quadrada real, só faz sentido (no conjunto dos reais) se o radicando for maior ou igual a zero.
Portanto, imponho a desigualdade
Assim o domínio é o conjunto de todos os
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Concluindo o domínio com notação padrão:
- Em intervalo:
. - Em palavras: todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Escrevendo a resposta do domínio em forma matemática: o domínio deé .
Passo 4
Agora a imagem (ou contradomínio efetivo, o conjunto de valores que
atinge) — por que é importante?
- A função raiz quadrada retorna sempre um número real não negativo:
quando definida.
Logo a imagem (ou conjunto-valor) étambém.
Em particulare para todo .
Passo 5
Interceptos e pontos especiais (úteis para desenhar o gráfico):
- Intercepto com o eixo
: solução de é . Então há intercepto em . - Intercepto com o eixo
: é , o mesmo ponto . - Alguns pontos fáceis de calcular para rascunho:
Esses pontos formam uma boa malha para desenhar.
Passo 6
Forma e comportamento da curva (intuição por derivadas, explicada com calma):
- A derivada (para
) é Explicação rápida: derivada mede taxa de variação; aqui para todo , portanto é estritamente crescente em . - Observações sobre
: - Quando
se aproxima de , é pequeno e fica grande: a tangente em é quase vertical (declividade tende a ). - Quando
, e : a curva fica cada vez mais “achatada”.
- Quando
- Segunda derivada (para ver concavidade):
isto mostra que a curva é côncava para baixo em todo .
Passo 7
Relação geométrica com a parábola:
- Se
, então elevando ao quadrado obtemos com a restrição . - Logo o gráfico de
é a “metade superior” (ramo com ) da parábola dada por , ou pensado de outra forma: é a parábola que se abre para a direita, tomada apenas na parte com .
Passo 8
Como construir o gráfico na prática (passo-a-passo para fazer na prova, sem calculadora):
- Marque o ponto de início do domínio no eixo
: . O valor correspondente é (ponto ). - Marque os pontos calculados no Passo 5:
. - Lembre-se da forma: curva começa em
com inclinação alta, sobe de forma decrescente e vai “achatando” quando cresce. - Desenhe uma curva suave passando por esses pontos, sem voltar para a esquerda (função é crescente) e mantendo concavidade para baixo.
Isso produz o esboço do gráfico de.
Passo 9
Identificando como se relacionam os gráficos das funções “do mesmo tipo” (família da raiz quadrada)
- A família básica que usamos como referência é
. - Funções da mesma família costumam aparecer na forma geral
onde são constantes reais (com ). Explicação do efeito de cada parâmetro: -
desloca o gráfico horizontalmente: substituição desloca para a direita por (se ) ou para a esquerda por (se ). O novo domínio será . -
desloca verticalmente: soma move o gráfico para cima por (se ) ou para baixo (se ). -
altera a amplitude e direção: se aplica uma escala vertical por fator (se , estica verticalmente; se , comprime verticalmente). Se , além de escalonar verticalmente, há reflexão em relação ao eixo (o ramo passa a ficar com em vez de ).
-
- Observação sobre termos dentro da raiz que envolvam multiplicação por constantes: por exemplo
com pode ser reescrita como , que se manifesta como um escalonamento vertical por . Em mudanças horizontais do tipo com ocorre uma dilatação horizontal por fator combinada com um escalonamento vertical por . - Resumindo de forma prática: gráficos de funções do tipo raiz quadrada são obtidos a partir do gráfico de
por translações (horizontal e vertical), escalamentos e possíveis reflexões.
Passo 10
Recapitulando para fixar (dicas rápidas para a prova)
- Para qualquer
do tipo raiz quadrada, comece encontrando o ponto inicial do domínio resolvendo o radicando . - Calcule alguns pontos inteiros ou quadrados perfeitos para facilitar o esboço.
- Use a informação de monotonicidade (geralmente crescente quando tomamos a raiz principal) e concavidade (côncava para baixo no caso padrão) para dar o formato correto.
- Lembre-se: o gráfico de
é a “metade superior” da parábola .
Resposta
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva que parte de , passa por
, é crescente e côncava para baixo, com inclinação muito grande perto de
e tendendo a
quando
; geometricamente é a metade superior da parábola
.
Relação entre gráficos da mesma família: gráficos de funções da forma são obtidos a partir de
por translações horizontais (
), translações verticais (
), escalonamentos verticais/reflexões (
) e, para fatores internos, combinações equivalentes de dilatação horizontal e escala vertical conforme explicado.
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva que parte de
Relação entre gráficos da mesma família: gráficos de funções da forma