Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
f(x)=\log x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\log x e pede três coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Construir (desenhar/interpretar) o gráfico de f.
  • Identificar como se relacionam entre si os gráficos de funções do mesmo tipo (isto é, de funções logarítmicas).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita é f(x)=\log x. Não foi indicada a base; vou usar propriedades válidas para qualquer base a>0,\\ a\neq1 e, quando necessário, explicar o caso concreto mais comum (base 10 ou base e).

Passo 2

O que é \log e por que isso impõe restrição no domínio?
Definição (intuitiva e precisa): para base a>0,\\ a\neq1, a função logarítmica \log_a x é definida como o número y tal que a^{y}=x. Em símbolos:
y=\log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad a^{y}=x.
Dessa equivalência vem uma restrição imediata: a potência a^{y} é sempre positiva para todo y. Logo x só pode assumir valores positivos. Portanto o domínio de \log_a x é o conjunto de x tais que x>0.
Conclusão do domínio:
\text{Domínio de } \log x\;=\;(0,\infty).í

Passo 3

Qual é o contradomínio (imagem) e comportamento importante da função?
Como a^{y} (a função exponencial) alcança qualquer valor positivo quando y varia por todos os reais, o logarítmico atinge todos os números reais. Assim a imagem (contradomínio efetivo) é (-\infty,\infty). Em símbolos:
\text{Imagem de } \log_a x\;=\;(-\infty,\infty).
Pontos e limites importantes (useful para desenhar):
  • \log_a 1 = 0, porque a^{0}=1. Então o gráfico passa por (1,0).
  • \log_a a = 1, então passa por (a,1).
  • Quando x\to 0^{+}, tem-se \log_a x \to -\infty. Portanto existe uma assíntota vertical em x=0.
  • Quando x\to +\infty, tem-se \log_a x \to +\infty.
    Esses comportamentos vêm da relação inversa com a^{y}: valores muito pequenos de x exigem y muito negativos; valores grandes de x exigem y grandes positivos.

Passo 4

Monotonicidade e forma (por que o gráfico sobe ou desce)
O sinal do crescimento depende da base a:
  • Se a>1, a exponencial a^{y} é crescente em y. Então se x_1<x_2 temos as imagens y_1<y_2, logo \log_a x é crescente. Ex.: \log_{10} x e \ln x (base e>1) são crescentes.
  • Se 0<a<1, a exponencial a^{y} é decrescente em y. Então \log_a x é decrescente.
Resumo: todas as logarítmicas têm a mesma “forma” geral: passa por (1,0), tem assíntota vertical em x=0 e imagem (-\infty,\infty). A diferença é se o ramo sobe (base >1) ou desce (base entre 0 e 1).

Passo 5

Como construir o gráfico na prática (passo a passo de esboço que dá pra fazer na prova sem calculadora)
  1. Marcar a assíntota vertical x=0 (linha pontilhada).
  2. Marcar o ponto (1,0) — sempre presente.
  3. Marcar mais um ponto conveniente:
    • se a base for 10, marque (10,1) e (0{,}1,-1) porque \log_{10}10=1 e \log_{10}0{,}1=-1.
    • se for natural (base e), marque (e,1) e (e^{-1},-1). Note: não é preciso conhecer e numericamente para esboçar a forma.
  4. Ligar os pontos com uma curva que entra em -\infty ao se aproximar de x=0^+, passa por (1,0) e cresce lentamente para +\infty quando x cresce — a curva é “achatada” para direita (cresce mais devagar que uma reta).
Exemplos de pontos concretos (base e):
\ln 1=0,\quad \ln e=1,\quad \ln(e^{-1})=-1.
Exemplos (base 10):
\log_{10}1=0,\quad \log_{10}10=1,\quad \log_{10}0{,}1=-1.

Passo 6

Relação entre gráficos de \log_a x e \log_b x (transformação entre bases)
Fórmula de troca de base (muito útil):
\log_a x \;=\; \frac{\log_b x}{\log_b a}.
Em particular, usando o log natural \ln:
\log_a x \;=\; \frac{\ln x}{\ln a}.
Interpretação geométrica:
  • O fator 1/\ln a multiplica os valores da função \ln x. Multiplicar por uma constante verticalmente dilata/contrai o gráfico em relação ao eixo x.
  • Se a>1 então \ln a>0, logo \log_a x é uma dilatação/contração vertical de \ln x com fator positivo 1/\ln a: mantém a orientação (continua crescente) e apenas “estica” ou “aperta” verticalmente.
  • Se 0<a<1 então \ln a<0, o fator 1/\ln a é negativo: além de dilatar/contrair verticalmente, há reflexão em relação ao eixo x (isto é, o gráfico fica decrescente).
Consequências práticas:
  • Todos os gráficos \log_a x se cruzam em (1,0) (único ponto comum entre duas logarítmicas com bases diferentes), porque para todo a, \log_a 1=0.
  • Dois gráficos \log_a x e \log_b x não se intersectam em outro ponto salvo casos especiais (a relação reduz a \ln x=0\Rightarrow x=1 se as constantes de escala forem diferentes).
  • Visualmente, mudar a base corresponde a multiplicar verticalmente o gráfico básico (por exemplo \ln x) por uma constante.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o que você deve lembrar)
  • Domínio: sempre x>0. Marque a assíntota x=0.
  • Passe por (1,0) e por (a,1) se souber a base a.
  • Base >1 → crescente. Base entre 0 e 1 → decrescente.
  • Para comparar bases, use a troca de base \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}: é uma dilatação/reflexão vertical do gráfico de \ln x.

Resposta

Domínio: (0,\infty).\nGráfico: curva com assíntota vertical em x=0, passa por (1,0), tende a -\infty quando x\to0^{+} e a +\infty quando x\to+\infty; é crescente se a base >1 (decrescente se 0<a<1).\nRelação entre gráficos: para bases a,b>0 ( a,b\neq1) vale \displaystyle \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}, ou seja, gráficos de \log_a x são dilatações (ou reflexões se \ln a<0) verticais uns dos outros; todos têm assíntota x=0 e passam por (1,0).

Exercícios relacionados