Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar o domínio de
. - Construir (desenhar/interpretar) o gráfico de
. - Identificar como se relacionam entre si os gráficos de funções do mesmo tipo (isto é, de funções logarítmicas).
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita é
. Não foi indicada a base; vou usar propriedades válidas para qualquer base e, quando necessário, explicar o caso concreto mais comum (base ou base ).
Passo 2
O que é
e por que isso impõe restrição no domínio?
Definição (intuitiva e precisa): para base
, a função logarítmica
é definida como o número
tal que
. Em símbolos:
Dessa equivalência vem uma restrição imediata: a potência
é sempre positiva para todo
. Logo
só pode assumir valores positivos. Portanto o domínio de
é o conjunto de
tais que
.
Conclusão do domínio:
Passo 3
Qual é o contradomínio (imagem) e comportamento importante da função?
Como
(a função exponencial) alcança qualquer valor positivo quando
varia por todos os reais, o logarítmico atinge todos os números reais. Assim a imagem (contradomínio efetivo) é
. Em símbolos:
Pontos e limites importantes (useful para desenhar):
-
, porque . Então o gráfico passa por . -
, então passa por . - Quando
, tem-se . Portanto existe uma assíntota vertical em . - Quando
, tem-se .
Esses comportamentos vêm da relação inversa com: valores muito pequenos de exigem muito negativos; valores grandes de exigem grandes positivos.
Passo 4
Monotonicidade e forma (por que o gráfico sobe ou desce)
O sinal do crescimento depende da base
:
- Se
, a exponencial é crescente em . Então se temos as imagens , logo é crescente. Ex.: e (base ) são crescentes. - Se
, a exponencial é decrescente em . Então é decrescente.
Resumo: todas as logarítmicas têm a mesma “forma” geral: passa por
, tem assíntota vertical em
e imagem
. A diferença é se o ramo sobe (base
) ou desce (base entre
e
).
Passo 5
Como construir o gráfico na prática (passo a passo de esboço que dá pra fazer na prova sem calculadora)
- Marcar a assíntota vertical
(linha pontilhada). - Marcar o ponto
— sempre presente. - Marcar mais um ponto conveniente:
- se a base for
, marque e porque e . - se for natural (base
), marque e . Note: não é preciso conhecer numericamente para esboçar a forma.
- se a base for
- Ligar os pontos com uma curva que entra em
ao se aproximar de , passa por e cresce lentamente para quando cresce — a curva é “achatada” para direita (cresce mais devagar que uma reta).
Exemplos de pontos concretos (base
):
Exemplos (base
):
Passo 6
Relação entre gráficos de
e
(transformação entre bases)
Fórmula de troca de base (muito útil):
Em particular, usando o log natural
:
Interpretação geométrica:
- O fator
multiplica os valores da função . Multiplicar por uma constante verticalmente dilata/contrai o gráfico em relação ao eixo . - Se
então , logo é uma dilatação/contração vertical de com fator positivo : mantém a orientação (continua crescente) e apenas “estica” ou “aperta” verticalmente. - Se
então , o fator é negativo: além de dilatar/contrair verticalmente, há reflexão em relação ao eixo (isto é, o gráfico fica decrescente).
Consequências práticas:
- Todos os gráficos
se cruzam em (único ponto comum entre duas logarítmicas com bases diferentes), porque para todo , . - Dois gráficos
e não se intersectam em outro ponto salvo casos especiais (a relação reduz a se as constantes de escala forem diferentes). - Visualmente, mudar a base corresponde a multiplicar verticalmente o gráfico básico (por exemplo
) por uma constante.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumindo o que você deve lembrar)
- Domínio: sempre
. Marque a assíntota . - Passe por
e por se souber a base . - Base
→ crescente. Base entre e → decrescente. - Para comparar bases, use a troca de base
: é uma dilatação/reflexão vertical do gráfico de .
Resposta
Domínio:
.\nGráfico: curva com assíntota vertical em
, passa por
, tende a
quando
e a
quando
; é crescente se a base
(decrescente se
).\nRelação entre gráficos: para bases
(
) vale
, ou seja, gráficos de
são dilatações (ou reflexões se
) verticais uns dos outros; todos têm assíntota
e passam por
.